Обыкновенные дроби: сокращение, сравнение и четыре действия

В обыкновенной дроби знаменатель не может быть нулём: для записи $\frac{a}{b}$ требуется $b\ne0$. При сокращении числитель и знаменатель делят на одно и то же число, не равное нулю; при сложении и вычитании находят общий знаменатель; при делении обращают только дробь-делитель.

Ниже сокращение дробей, их сравнение и четыре арифметических действия показаны на разобранных примерах. В каждом правиле отдельно отмечены также ограничения для знаменателя и делителя.

Сокращение дробей: работаем с наибольшим общим делителем EKUB

По основному свойству дроби, если числитель и знаменатель разделить на одно и то же число, не равное нулю, значение дроби не изменится. Сократить дробь — значит разделить числитель и знаменатель на их общий делитель. Самый быстрый путь — сразу разделить на наибольший общий делитель (EKUB): тогда дробь за один шаг приходит к несократимому виду.

Пример 1. Сократите дробь $\frac{36}{48}$.

Решение: замечаем, что $36 = 12 \cdot 3$ и $48 = 12 \cdot 4$, значит, $\mathrm{EKUB}(36;\,48) = 12$. Делим числитель и знаменатель на 12: $\frac{36}{48} = \frac{36:12}{48:12} = \frac{3}{4}$.

Если наибольший общий делитель EKUB не виден сразу, сокращайте по шагам: сначала на 2 ($\frac{18}{24}$), затем ещё на 2 ($\frac{9}{12}$), а потом на 3 ($\frac{3}{4}$). Результат тот же, только шагов больше. Для больших чисел удобно разложить числитель и знаменатель на простые множители: общие множители вычёркивают, а оставшиеся дают ответ.

Способы сравнения дробей

Для сравнения достаточно знать три случая. Если знаменатели равны и положительны, больше та дробь, у которой числитель больше. Если числители равны одному и тому же положительному числу и знаменатели тоже положительны, больше та дробь, у которой знаменатель меньше, потому что доли крупнее. В общем случае сначала приведите знаменатели к положительному виду. После этого для $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ можно сравнить $a\cdot d$ с $c\cdot b$; здесь $b>0$ и $d>0$.

Пример 2. Сравните дроби $\frac{5}{8}$ и $\frac{7}{12}$.

Решение: в качестве общего знаменателя берём $\mathrm{EKUK}(8;\,12) = 24$. Тогда $\frac{5}{8} = \frac{15}{24}$ и $\frac{7}{12} = \frac{14}{24}$. Так как $15 > 14$, получаем $\frac{5}{8} > \frac{7}{12}$.

Проверяем (способ крест-накрест): $5 \cdot 12 = 60$ и $7 \cdot 8 = 56$; так как $60 > 56$, вывод верен.

Ещё один полезный способ — сравнивать дроби с «опорным» числом. Например, сразу видно, что $\frac{4}{9} < \frac{1}{2}$ и $\frac{6}{11} > \frac{1}{2}$, значит, даже без поиска общего знаменателя ясно, что $\frac{6}{11}$ больше.

Сложение и вычитание: необходим общий знаменатель

У дробей с равными знаменателями числители складывают или вычитают, а знаменатель остаётся без изменения. Если знаменатели различны, сначала приводим их к наименьшему общему кратному (EKUK), а затем выполняем действие. В конце ответ обязательно записываем в сокращённом виде.

Пример 3. Вычислите: $\frac{3}{4} + \frac{5}{6} - \frac{7}{12}$.

Решение: $\mathrm{EKUK}(4;\,6;\,12) = 12$. Каждую дробь приводим к знаменателю 12: $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$, $\frac{5}{6} = \frac{10}{12}$, а третья дробь остаётся как есть. Теперь $\frac{9}{12} + \frac{10}{12} - \frac{7}{12} = \frac{9 + 10 - 7}{12} = \frac{12}{12} = 1$.

Ответ: $1$. Обратите внимание: если взять в качестве общего знаменателя наименьшее общее кратное, а не произведение знаменателей, вычисление становится заметно легче.

Умножение и деление: самые простые действия

При умножении числитель умножают на числитель, а знаменатель на знаменатель: $\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$, где $b\ne0$ и $d\ne0$. При делении первую дробь умножают на дробь, обратную второй: $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$. Для этого действия дробь-делитель не должна равняться нулю, то есть требуется также $c\ne0$. Сокращение перед умножением уменьшает числа и облегчает вычисление.

Пример 4. Вычислите: $\frac{4}{9} : \frac{8}{15}$.

Решение: заменяем деление умножением: $\frac{4}{9} : \frac{8}{15} = \frac{4}{9} \cdot \frac{15}{8}$. Перед умножением сокращаем: $4$ и $8$ на $4$ ($1$ и $2$ остаются), $15$ и $9$ на $3$ ($5$ и $3$ остаются). В результате $\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{6}$.

Проверяем: при прямом вычислении получается $\frac{4 \cdot 15}{9 \cdot 8} = \frac{60}{72}$, а после сокращения на 12 снова получается $\frac{5}{6}$.

Если участвуют смешанные числа, сначала обратите их в неправильные дроби, например $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$. После этого все правила работают как обычно: $2\frac{1}{3} \cdot \frac{9}{14} = \frac{7}{3} \cdot \frac{9}{14} = \frac{63}{42} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$. Если участвует натуральное число, считайте его дробью со знаменателем 1: $5 = \frac{5}{1}$, и тогда примеры вроде $5 : \frac{2}{3} = \frac{5}{1} \cdot \frac{3}{2} = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2}$ тоже подчиняются одному и тому же правилу.

Самостоятельное упражнение

Вычислите: $\frac{5}{6}-\frac{1}{4}:\frac{3}{8}$. Краткий ответ: сначала выполняется деление, $\frac{1}{4}:\frac{3}{8}=\frac{2}{3}$; затем $\frac{5}{6}-\frac{2}{3}=\frac{1}{6}$.

Типичные ошибки и как их избежать

Следующие ошибки возникают, когда правило применяют механически; напротив каждой есть верная проверка.

• Сложение по правилу «числитель с числителем, знаменатель со знаменателем». $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ никогда не равно $\frac{2}{5}$. Верный путь — общий знаменатель: $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$.
• «Сокращение» слагаемого. Тройки в $\frac{3+5}{3}$ вычёркивать нельзя: сокращение относится только к множителям, а не к отдельному члену суммы.
• Переворачивание не той дроби при делении. Обращают только вторую дробь, то есть делитель; если при переходе к умножению обратить первую дробь и не изменить вторую, то при делимом, не равном нулю, получится дробь, обратная верному результату. Если делимое равно нулю, обратить его нельзя.
• Взгляд при сравнении только на одну часть. Вывод «знаменатель больше — значит, дробь больше» неверен: когда числители равны одному и тому же положительному числу и знаменатели тоже положительны, дробь с большим знаменателем меньше.
• Ответ оставляют несокращённым. $\frac{60}{72}$ арифметически верно, но в качестве окончательного ответа ожидается $\frac{5}{6}$; в тестах часто приведён именно сокращённый вариант.

Вывод и следующий шаг

• В каждой дроби проверьте, что знаменатель не равен нулю.
• При сложении и вычитании приводите к общему знаменателю, а при умножении заранее сокращайте.
• Перед сравнением крест-накрест приведите знаменатели к положительному виду.
• При делении обращайте только вторую дробь и убедитесь, что делитель не равен нулю.
• Повторите правила наибольшего общего делителя EKUB и наименьшего общего кратного EKUK или решайте тесты по дробям.