Oddiy kasrlar: qisqartirish, taqqoslash va to'rt amal

Oddiy kasrda maxraj nol bo'lmaydi: $\frac{a}{b}$ yozuvi uchun $b\ne0$. Qisqartirishda surat va maxraj bir xil nol bo'lmagan songa bo'linadi; qo'shish va ayirishda umumiy maxraj topiladi; bo'lishda esa faqat bo'luvchi kasr teskarilanadi.

Quyida kasrlarni qisqartirish, taqqoslash va to'rtta arifmetik amal ishlangan misollar bilan ko'rsatiladi. Har bir qoidada maxraj va bo'luvchiga tegishli cheklovlar ham alohida qayd etiladi.

Kasrlarni qisqartirish: EKUB bilan ishlaymiz

Kasrning asosiy xossasiga ko'ra, surat va maxrajni nolga teng bo'lmagan bitta songa bo'lsak, kasrning qiymati o'zgarmaydi. Kasrlarni qisqartirish — surat va maxrajni ularning umumiy bo'luvchisiga bo'lish demak. Eng tez yo'l — darhol eng katta umumiy bo'luvchiga (EKUB) bo'lish: shunda kasr bir qadamda qisqarmas ko'rinishga keladi.

Misol 1. $\frac{36}{48}$ kasrni qisqartiring.

Yechim: $36 = 12 \cdot 3$ va $48 = 12 \cdot 4$ ekanini payqaymiz, demak $\mathrm{EKUB}(36;\,48) = 12$. Surat va maxrajni 12 ga bo'lamiz: $\frac{36}{48} = \frac{36:12}{48:12} = \frac{3}{4}$.

Agar EKUB darrov ko'rinmasa, bosqichma-bosqich qisqartiring: avval 2 ga ($\frac{18}{24}$), yana 2 ga ($\frac{9}{12}$), so'ng 3 ga ($\frac{3}{4}$). Natija bir xil, faqat qadamlar ko'proq bo'ladi. Katta sonlarda esa surat va maxrajni tub ko'paytuvchilarga ajratish qulay: umumiy ko'paytuvchilar chizib tashlanadi, qolganlari javobni beradi.

Kasrlarni taqqoslash usullari

Taqqoslashda uchta holatni bilish yetarli. Maxrajlar teng va musbat bo'lsa, surati kattasi katta. Suratlar bir xil musbat bo'lsa, maxraji kichigi katta, chunki bo'laklar yirikroq bo'ladi. Umumiy holda maxrajlarni avval musbat ko'rinishga keltiring. Shundan keyin $\frac{a}{b}$ va $\frac{c}{d}$ uchun $a\cdot d$ bilan $c\cdot b$ ni solishtirish mumkin; bu yerda $b>0$ va $d>0$.

Misol 2. $\frac{5}{8}$ va $\frac{7}{12}$ kasrlarni taqqoslang.

Yechim: umumiy maxraj sifatida $\mathrm{EKUK}(8;\,12) = 24$ ni olamiz. U holda $\frac{5}{8} = \frac{15}{24}$ va $\frac{7}{12} = \frac{14}{24}$. $15 > 14$ bo'lgani uchun $\frac{5}{8} > \frac{7}{12}$.

Tekshiramiz (ko'ndalang usul): $5 \cdot 12 = 60$ va $7 \cdot 8 = 56$; $60 > 56$ bo'lgani uchun xulosa to'g'ri.

Yana bir foydali usul — kasrlarni "tayanch" songa solishtirish. Masalan, $\frac{4}{9} < \frac{1}{2}$ va $\frac{6}{11} > \frac{1}{2}$ ekanini darhol ko'rish mumkin, demak umumiy maxraj qidirmasdan ham $\frac{6}{11}$ kattaligi ayon.

Qo'shish va ayirish: umumiy maxraj shart

Maxrajlari teng kasrlarda suratlar qo'shiladi yoki ayiriladi, maxraj esa o'zgarishsiz qoladi. Maxrajlar har xil bo'lsa, avval ularni eng kichik umumiy karraliga (EKUK) keltiramiz, keyin amalni bajaramiz. Oxirida javobni albatta qisqartirilgan holda yozamiz.

Misol 3. Hisoblang: $\frac{3}{4} + \frac{5}{6} - \frac{7}{12}$.

Yechim: $\mathrm{EKUK}(4;\,6;\,12) = 12$. Har bir kasrni 12 maxrajga keltiramiz: $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$, $\frac{5}{6} = \frac{10}{12}$, uchinchi kasr o'z holicha qoladi. Endi $\frac{9}{12} + \frac{10}{12} - \frac{7}{12} = \frac{9 + 10 - 7}{12} = \frac{12}{12} = 1$.

Javob: $1$. E'tibor bering: umumiy maxraj sifatida maxrajlar ko'paytmasini emas, EKUKni olish hisobni ancha yengillashtiradi.

Ko'paytirish va bo'lish: eng sodda amallar

Ko'paytirishda surat suratga, maxraj maxrajga ko'paytiriladi: $\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$, bunda $b\ne0$ va $d\ne0$. Bo'lishda birinchi kasr ikkinchisining teskarisiga ko'paytiriladi: $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$. Bu amal uchun bo'luvchi kasr nol bo'lmasligi kerak, ya'ni $c\ne0$ ham talab qilinadi. Ko'paytirishdan oldin qisqartirish sonlarni kichraytiradi va hisobni yengillashtiradi.

Misol 4. Hisoblang: $\frac{4}{9} : \frac{8}{15}$.

Yechim: bo'lishni ko'paytirishga almashtiramiz: $\frac{4}{9} : \frac{8}{15} = \frac{4}{9} \cdot \frac{15}{8}$. Ko'paytirishdan oldin qisqartiramiz: $4$ va $8$ ni $4$ ga ($1$ va $2$ qoladi), $15$ va $9$ ni $3$ ga ($5$ va $3$ qoladi). Natijada $\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{6}$.

Tekshiramiz: to'g'ridan-to'g'ri hisoblasak $\frac{4 \cdot 15}{9 \cdot 8} = \frac{60}{72}$, buni 12 ga qisqartirsak yana $\frac{5}{6}$ chiqadi.

Aralash sonlar qatnashsa, avval ularni noto'g'ri kasrga o'giring: masalan, $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$. Shundan keyin barcha qoidalar odatdagidek ishlaydi: $2\frac{1}{3} \cdot \frac{9}{14} = \frac{7}{3} \cdot \frac{9}{14} = \frac{63}{42} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$. Natural son qatnashganda esa uni maxraji 1 bo'lgan kasr deb qarang: $5 = \frac{5}{1}$, shunda $5 : \frac{2}{3} = \frac{5}{1} \cdot \frac{3}{2} = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2}$ kabi misollar ham bitta qoidaga bo'ysunadi.

Mustaqil mashq

Hisoblang: $\frac{5}{6}-\frac{1}{4}:\frac{3}{8}$. Qisqa javob: avval bo'lish bajariladi, $\frac{1}{4}:\frac{3}{8}=\frac{2}{3}$; so'ng $\frac{5}{6}-\frac{2}{3}=\frac{1}{6}$.

Tipik xatolar va ulardan saqlanish

Quyidagi xatolar qoidani mexanik qo'llaganda yuz beradi; har birining qarshisida to'g'ri tekshiruv bor.

• "Surat suratga, maxraj maxrajga" deb qo'shish. $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ hech qachon $\frac{2}{5}$ bo'lmaydi. To'g'ri yo'l — umumiy maxraj: $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$.
• Qo'shiluvchini "qisqartirish". $\frac{3+5}{3}$ ifodadagi uchliklarni o'chirib bo'lmaydi: qisqartirish faqat ko'paytuvchilarga tegishli, yig'indining bitta hadiga emas.
• Bo'lishda noto'g'ri kasrni ag'darish. Faqat ikkinchi kasr, ya'ni bo'luvchi teskari ag'dariladi; birinchisini ag'darsangiz, javob teskari chiqadi.
• Taqqoslashda faqat bitta qismga qarash. "Maxraji kattaroq — demak kasr kattaroq" degan xulosa noto'g'ri: suratlar teng bo'lganda aksincha, maxraji katta kasr kichik bo'ladi.
• Javobni qisqartirmaslik. $\frac{60}{72}$ arifmetik jihatdan to'g'ri, ammo yakuniy javob sifatida $\frac{5}{6}$ kutiladi; testlarda ko'pincha aynan qisqartirilgan variant beriladi.

Xulosa va keyingi qadam

• Har bir kasrda maxraj nol emasligini tekshiring.
• Qo'shish va ayirishda umumiy maxrajga keltiring; ko'paytirishda esa oldindan qisqartiring.
• Ko'ndalang taqqoslashdan oldin maxrajlarni musbat ko'rinishga keltiring.
• Bo'lishda faqat ikkinchi kasrni teskarilang va bo'luvchi nol emasligiga ishonch hosil qiling.
• EKUB va EKUK qoidalarini takrorlang yoki kasrlarga oid testlarni yeching.