EKUB va EKUK: qoidalar, Yevklid algoritmi va misollar

EKUB (eng katta umumiy bo'luvchi) kasrni qisqartirishda, EKUK (eng kichik umumiy karrali) esa umumiy maxraj yoki takrorlanuvchi hodisalarning eng yaqin umumiy vaqtini topishda ishlatiladi. Musbat natural sonlar uchun EKUB umumiy tub ko'paytuvchilarning eng kichik darajalaridan, EKUK esa barcha tub ko'paytuvchilarning eng katta darajalaridan tuziladi.

Quyida ta'riflar, tub ko'paytuvchilarga ajratish, Yevklid algoritmi, ishlangan misollar va javobni mustaqil tekshirish usuli berilgan.

EKUB va EKUK nima?

Ta'riflar sodda:

• $\text{EKUB}(a;\,b)$ — musbat natural $a$ va $b$ sonlarining har ikkalasini qoldiqsiz bo'luvchi eng katta natural son.
• $\text{EKUK}(a;\,b)$ — musbat natural $a$ va $b$ sonlarining har ikkalasiga qoldiqsiz bo'linadigan eng kichik musbat natural son.

Masalan, $\text{EKUB}(8;\,12) = 4$: 8 va 12 ning umumiy bo'luvchilari $1$, $2$, $4$ bo'lib, eng kattasi — 4. $\text{EKUK}(8;\,12) = 24$: 24 ham 8 ga, ham 12 ga bo'linadi va bunday sonlar ichida eng kichigi aynan shu.

Musbat natural $a$ va $b$ uchun juda foydali bog'lanish bor:

$\text{EKUB}(a;\,b) \cdot \text{EKUK}(a;\,b) = a \cdot b$

Bu formula javobni tekshirish uchun ajoyib vosita: topilgan EKUB bilan EKUK ko'paytmasi $a \cdot b$ ga teng chiqmasa, demak qayerdadir xato bor.

Asosiy qoida: tub ko'paytuvchilarga ajratish

Eng universal usul — har bir sonni tub ko'paytuvchilarga ajratish. Buning uchun sonni eng kichik tub sondan boshlab ketma-ket bo'lib boramiz. So'ng ikkita oddiy qoida ishlaydi:

1. EKUB uchun faqat ikkala yoyilmada ham bor bo'lgan (umumiy) tub ko'paytuvchilarni olamiz va har birini eng kichik darajada yozamiz.
2. EKUK uchun yoyilmalarda uchragan barcha tub ko'paytuvchilarni olamiz va har birini eng katta darajada yozamiz.

Esda saqlashning qulay yo'li: EKUB — "kesishma", ya'ni faqat umumiy qism; EKUK — "birlashma", ya'ni hamma narsa, lekin ortiqcha takrorsiz. Musbat natural sonlarda EKUB sonlarning kichigidan katta bo'lmaydi, EKUK esa kattasidan kichik bo'lmaydi.

Ishlangan misollar va yechimlari

1-misol. $\text{EKUB}(48;\,36)$ va $\text{EKUK}(48;\,36)$ ni toping.

Yechim. Har bir sonni tub ko'paytuvchilarga ajratamiz: $48 = 2^4 \cdot 3$ va $36 = 2^2 \cdot 3^2$.

Umumiy tub ko'paytuvchilar — 2 va 3. Ularning eng kichik darajalari: $2^2$ va $3^1$. Demak, $\text{EKUB}(48;\,36) = 2^2 \cdot 3 = 12$.

EKUK uchun eng katta darajalarni olamiz: $2^4$ va $3^2$. Demak, $\text{EKUK}(48;\,36) = 2^4 \cdot 3^2 = 16 \cdot 9 = 144$.

Tekshiramiz: $12 \cdot 144 = 1728$ va $48 \cdot 36 = 1728$. Mos keldi — javob to'g'ri.

2-misol (amaliy masala). Bekatdan birinchi yo'nalishdagi avtobus har 45 minutda, ikkinchisi har 60 minutda jo'naydi. Ular soat 9:00 da birga jo'nab ketishdi. Keyingi safar qachon yana bir vaqtda jo'nashadi?

Yechim. Bizga 45 va 60 ga bir vaqtda karrali bo'lgan eng kichik vaqt, ya'ni $\text{EKUK}(45;\,60)$ kerak. Ajratamiz: $45 = 3^2 \cdot 5$ va $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$. Eng katta darajalar: $2^2$, $3^2$ va $5$. Demak, $\text{EKUK}(45;\,60) = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180$ minut, ya'ni 3 soat. Javob: soat 12:00 da.

3-misol (Yevklid algoritmi). $\text{EKUB}(1071;\,462)$ ni toping.

Yechim. Katta sonlarni tub ko'paytuvchilarga ajratish ko'p vaqt oladi, bunday holda Yevklid algoritmi qulay: katta sonni kichigiga qoldiqli bo'lamiz, so'ng bo'luvchini shu qoldiqqa bo'lamiz va jarayonni qoldiq nol bo'lguncha davom ettiramiz.

$1071 = 462 \cdot 2 + 147$

$462 = 147 \cdot 3 + 21$

$147 = 21 \cdot 7 + 0$

Oxirgi noldan farqli qoldiq — 21. Demak, $\text{EKUB}(1071;\,462) = 21$. Haqiqatan ham: $1071 = 21 \cdot 51$ va $462 = 21 \cdot 22$.

4-misol (kasrlar bilan). $\dfrac{5}{12}$ va $\dfrac{7}{18}$ kasrlarni eng kichik umumiy maxrajga keltiring.

Yechim. Eng kichik umumiy maxraj — bu $\text{EKUK}(12;\,18)$. Ajratamiz: $12 = 2^2 \cdot 3$ va $18 = 2 \cdot 3^2$. Demak, $\text{EKUK}(12;\,18) = 2^2 \cdot 3^2 = 36$. Endi kasrlarni kengaytiramiz: $\dfrac{5}{12} = \dfrac{15}{36}$ va $\dfrac{7}{18} = \dfrac{14}{36}$.

Mustaqil mashq

$\text{EKUB}(84;\,126)$ va $\text{EKUK}(84;\,126)$ ni toping. Qisqa javob: EKUB $42$, EKUK $252$. Tekshiruv: $42\cdot252=84\cdot126=10\,584$.

Tipik xatolar

EKUB bilan EKUKni chalkashtirish. Nomidagi "katta" va "kichik" so'zlari natijaning $a$ yoki $b$ ga nisbatan kattaligini emas, umumiy bo'luvchilar yoki umumiy karralilar orasidagi o'rnini bildiradi. Masala bo'luvchini so'rayaptimi yoki umumiy takrorlanish vaqtini — avval shuni aniqlang.

"EKUK — ikkala sonning ko'paytmasi" deb o'ylash. $\text{EKUK}(8;\,12)$ ni $96$ deb yozish xato: to'g'ri javob 24. Ko'paytma faqat sonlar o'zaro tub bo'lganda, ya'ni $\text{EKUB}(a;\,b) = 1$ bo'lganda EKUKka teng bo'ladi.

Darajalarni teskari tanlash. EKUB hisoblashda eng katta darajani, EKUKda eng kichigini olish — keng tarqalgan mexanik xato. Qoidani "kesishma va birlashma" obrazida esda tuting.

1 ni tub son deb hisoblash. 1 tub son emas, shuning uchun u yoyilmada qatnashmaydi. Eng kichik tub son — 2.

Javobni tekshirmaslik. $\text{EKUB} \cdot \text{EKUK} = a \cdot b$ formulasi bilan tekshirish bir necha soniya oladi, lekin imtihonda butun bir xatodan saqlaydi.

Xulosa va keyingi qadam

• EKUBda umumiy tub ko'paytuvchilarning eng kichik darajalarini oling.
• EKUKda uchragan barcha tub ko'paytuvchilarning eng katta darajalarini oling.
• Katta sonlarda Yevklid algoritmi tub ko'paytuvchilarga ajratishdan tezroq bo'lishi mumkin.
• Javobni $\text{EKUB}\cdot\text{EKUK}=a\cdot b$ bilan tekshiring.
• Oddiy kasrlarda EKUB va EKUK qanday ishlashini davom ettiring yoki mavzuli test yeching.