Asosiy kontentga o'tish
PPrime
⬅️ Ro'yxatga qaytish

29-iyul, 2026

EKUB va EKUK: qoidalar, misollar va yechimlari

EKUB (eng katta umumiy bo'luvchi) va EKUK (eng kichik umumiy karrali) — maktab matematikasining eng "ishchan" mavzularidan biri. Kasrlarni qisqartirish, umumiy maxrajga keltirish, bo'linish belgilariga oid masalalar va ko'plab olimpiada topshiriqlari aynan shu ikki tushunchaga tayanadi. Quyida qoidalarni qisqacha eslatib o'tamiz, ekub ekuk misollar yechimi bilan to'liq ko'rsatiladi va eng ko'p uchraydigan xatolarni tahlil qilamiz.

## EKUB va EKUK nima?

Ta'riflar sodda:

- EKUB(a; b)\text{EKUB}(a;\,b) — bu aa va bb sonlarining har ikkalasini ham qoldiqsiz bo'luvchi eng katta natural son.
- EKUK(a; b)\text{EKUK}(a;\,b) — bu aa ga ham, bb ga ham qoldiqsiz bo'linadigan eng kichik natural son.

Masalan, EKUB(8; 12)=4\text{EKUB}(8;\,12) = 4: 8 va 12 ning umumiy bo'luvchilari 11, 22, 44 bo'lib, eng kattasi — 4. EKUK(8; 12)=24\text{EKUK}(8;\,12) = 24: 24 ham 8 ga, ham 12 ga bo'linadi va bunday sonlar ichida eng kichigi aynan shu.

Ikkalasi orasida juda foydali bog'lanish bor:

EKUB(a; b)⋅EKUK(a; b)=a⋅b\text{EKUB}(a;\,b) \cdot \text{EKUK}(a;\,b) = a \cdot b

Bu formula javobni tekshirish uchun ajoyib vosita: topilgan EKUB bilan EKUK ko'paytmasi a⋅ba \cdot b ga teng chiqmasa, demak qayerdadir xato bor.

## Asosiy qoida: tub ko'paytuvchilarga ajratish

Eng universal usul — har bir sonni tub ko'paytuvchilarga ajratish. Buning uchun sonni eng kichik tub sondan boshlab ketma-ket bo'lib boramiz. So'ng ikkita oddiy qoida ishlaydi:

1. EKUB uchun faqat ikkala yoyilmada ham bor bo'lgan (umumiy) tub ko'paytuvchilarni olamiz va har birini eng kichik darajada yozamiz.
2. EKUK uchun yoyilmalarda uchragan barcha tub ko'paytuvchilarni olamiz va har birini eng katta darajada yozamiz.

Esda saqlashning qulay yo'li: EKUB — "kesishma", ya'ni faqat umumiy qism; EKUK — "birlashma", ya'ni hamma narsa, lekin ortiqcha takrorsiz. Shu sababli EKUB hech qachon sonlarning o'zidan katta bo'lmaydi, EKUK esa hech qachon ulardan kichik bo'lmaydi.

## Ishlangan misollar va yechimlari

**1-misol.** EKUB(48; 36)\text{EKUB}(48;\,36) va EKUK(48; 36)\text{EKUK}(48;\,36) ni toping.

Yechim. Har bir sonni tub ko'paytuvchilarga ajratamiz: 48=24⋅348 = 2^4 \cdot 3 va 36=22⋅3236 = 2^2 \cdot 3^2.

Umumiy tub ko'paytuvchilar — 2 va 3. Ularning eng kichik darajalari: 222^2 va 313^1. Demak, EKUB(48; 36)=22⋅3=12\text{EKUB}(48;\,36) = 2^2 \cdot 3 = 12.

EKUK uchun eng katta darajalarni olamiz: 242^4 va 323^2. Demak, EKUK(48; 36)=24⋅32=16⋅9=144\text{EKUK}(48;\,36) = 2^4 \cdot 3^2 = 16 \cdot 9 = 144.

Tekshiramiz: 12⋅144=172812 \cdot 144 = 1728 va 48⋅36=172848 \cdot 36 = 1728. Mos keldi — javob to'g'ri.

**2-misol (amaliy masala).** Bekatdan birinchi yo'nalishdagi avtobus har 45 minutda, ikkinchisi har 60 minutda jo'naydi. Ular soat 9:00 da birga jo'nab ketishdi. Keyingi safar qachon yana bir vaqtda jo'nashadi?

Yechim. Bizga 45 va 60 ga bir vaqtda karrali bo'lgan eng kichik vaqt, ya'ni EKUK(45; 60)\text{EKUK}(45;\,60) kerak. Ajratamiz: 45=32⋅545 = 3^2 \cdot 5 va 60=22⋅3⋅560 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5. Eng katta darajalar: 222^2, 323^2 va 55. Demak, EKUK(45; 60)=4⋅9⋅5=180\text{EKUK}(45;\,60) = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180 minut, ya'ni 3 soat. Javob: soat 12:00 da.

**3-misol (Yevklid algoritmi).** EKUB(1071; 462)\text{EKUB}(1071;\,462) ni toping.

Yechim. Katta sonlarni tub ko'paytuvchilarga ajratish ko'p vaqt oladi, bunday holda Yevklid algoritmi qulay: katta sonni kichigiga qoldiqli bo'lamiz, so'ng bo'luvchini shu qoldiqqa bo'lamiz va jarayonni qoldiq nol bo'lguncha davom ettiramiz.

1071=462⋅2+1471071 = 462 \cdot 2 + 147

462=147⋅3+21462 = 147 \cdot 3 + 21

147=21⋅7+0147 = 21 \cdot 7 + 0

Oxirgi noldan farqli qoldiq — 21. Demak, EKUB(1071; 462)=21\text{EKUB}(1071;\,462) = 21. Haqiqatan ham: 1071=21⋅511071 = 21 \cdot 51 va 462=21⋅22462 = 21 \cdot 22.

**4-misol (kasrlar bilan).** 512\dfrac{5}{12} va 718\dfrac{7}{18} kasrlarni eng kichik umumiy maxrajga keltiring.

Yechim. Eng kichik umumiy maxraj — bu EKUK(12; 18)\text{EKUK}(12;\,18). Ajratamiz: 12=22⋅312 = 2^2 \cdot 3 va 18=2⋅3218 = 2 \cdot 3^2. Demak, EKUK(12; 18)=22⋅32=36\text{EKUK}(12;\,18) = 2^2 \cdot 3^2 = 36. Endi kasrlarni kengaytiramiz: 512=1536\dfrac{5}{12} = \dfrac{15}{36} va 718=1436\dfrac{7}{18} = \dfrac{14}{36}.

## Tipik xatolar

**EKUB bilan EKUKni chalkashtirish.** Nomidagi "katta" va "kichik" so'zlari ko'pchilikni adashtiradi: EKUB "eng katta" deyilsa-da, natijasi kichik son bo'ladi, EKUK esa aksincha. Har doim ma'nosini eslang: bo'luvchi son ichida "yashaydi" (shuning uchun kichik), karrali esa sondan tashqarida (shuning uchun katta).

**"EKUK — ikkala sonning ko'paytmasi" deb o'ylash.** EKUK(8; 12)\text{EKUK}(8;\,12) ni 9696 deb yozish xato: to'g'ri javob 24. Ko'paytma faqat sonlar o'zaro tub bo'lganda, ya'ni EKUB(a; b)=1\text{EKUB}(a;\,b) = 1 bo'lganda EKUKka teng bo'ladi.

**Darajalarni teskari tanlash.** EKUB hisoblashda eng katta darajani, EKUKda eng kichigini olish — keng tarqalgan mexanik xato. Qoidani "kesishma va birlashma" obrazida esda tuting.

**1 ni tub son deb hisoblash.** 1 tub son emas, shuning uchun u yoyilmada qatnashmaydi. Eng kichik tub son — 2.

**Javobni tekshirmaslik.** EKUB⋅EKUK=a⋅b\text{EKUB} \cdot \text{EKUK} = a \cdot b formulasi bilan tekshirish bir necha soniya oladi, lekin imtihonda butun bir xatodan saqlaydi.

## Qanday mashq qilish kerak?

Bu mavzuda "tushundim" bilan "yecha olaman" orasida katta farq bor: qoidalar besh daqiqada o'rganiladi, ammo tezlik va ishonch faqat mashq bilan keladi. Har kuni 3-5 tadan misol yeching: avval kichik sonlar bilan tub ko'paytuvchilarga ajratishni avtomatizmga yetkazing, so'ng Yevklid algoritmi va matnli masalalarga o'ting. Har bir javobni yuqoridagi formula bilan tekshirishni odat qiling.

Bilimingizni mustahkamlash uchun Prime Matematika'dagi kunlik masala va testlar bo'limida EKUB-EKUK mavzusidagi mashqlarni yechib ko'ring.