EKUB, наибольший общий делитель, и EKUK, наименьшее общее кратное: правила, алгоритм Евклида и примеры

EKUB (наибольший общий делитель) используется для сокращения дробей, а EKUK (наименьшее общее кратное) — для нахождения общего знаменателя или ближайшего момента, когда повторяющиеся события произойдут одновременно. Для положительных натуральных чисел EKUB составляют из общих простых множителей в наименьших степенях, а EKUK — из всех простых множителей в наибольших степенях.

Ниже приведены определения, разложение на простые множители, алгоритм Евклида, разобранные примеры и способ самостоятельной проверки ответа.

Что такое EKUB, наибольший общий делитель, и EKUK, наименьшее общее кратное?

Определения просты:

• $\text{EKUB}(a;\,b)$ — наибольшее натуральное число, на которое без остатка делятся оба положительных натуральных числа $a$ и $b$.
• $\text{EKUK}(a;\,b)$ — наименьшее положительное натуральное число, которое без остатка делится на оба положительных натуральных числа $a$ и $b$.

Например, $\text{EKUB}(8;\,12) = 4$: общие делители чисел 8 и 12 — $1$, $2$, $4$, а наибольший из них — 4. $\text{EKUK}(8;\,12) = 24$: число 24 делится и на 8, и на 12 и является наименьшим среди таких чисел.

Для положительных натуральных чисел $a$ и $b$ существует очень полезное соотношение:

$\text{EKUB}(a;\,b) \cdot \text{EKUK}(a;\,b) = a \cdot b$

Эта формула отлично подходит для проверки ответа: если произведение найденных EKUB и EKUK не равно $a \cdot b$, значит, где-то допущена ошибка.

Основное правило: разложение на простые множители

Самый универсальный способ — разложить каждое число на простые множители. Для этого последовательно делим число, начиная с наименьшего простого числа. Затем применяем два простых правила:

1. Для EKUB берём только простые множители, присутствующие в обоих разложениях (общие), и записываем каждый в наименьшей степени.
2. Для EKUK берём все простые множители, встречающиеся в разложениях, и записываем каждый в наибольшей степени.

Удобный способ запомнить: EKUB — «пересечение», то есть только общая часть; EKUK — «объединение», то есть всё, но без лишних повторений. Для положительных натуральных чисел EKUB не превышает меньшее из чисел, а EKUK не может быть меньше большего из них.

Разобранные примеры и их решения

1-й пример. Найдите $\text{EKUB}(48;\,36)$ и $\text{EKUK}(48;\,36)$.

Решение. Разложим каждое число на простые множители: $48 = 2^4 \cdot 3$ и $36 = 2^2 \cdot 3^2$.

Общие простые множители — 2 и 3. Их наименьшие степени: $2^2$ и $3^1$. Следовательно, $\text{EKUB}(48;\,36) = 2^2 \cdot 3 = 12$.

Для EKUK берём наибольшие степени: $2^4$ и $3^2$. Следовательно, $\text{EKUK}(48;\,36) = 2^4 \cdot 3^2 = 16 \cdot 9 = 144$.

Проверим: $12 \cdot 144 = 1728$ и $48 \cdot 36 = 1728$. Результаты совпали — ответ верный.

2-й пример (практическая задача). Автобус первого маршрута отправляется от остановки каждые 45 минут, а автобус второго маршрута — каждые 60 минут. Они отправились одновременно в 9:00. Когда они в следующий раз отправятся одновременно?

Решение. Нам нужен наименьший промежуток времени, кратный одновременно 45 и 60, то есть $\text{EKUK}(45;\,60)$. Разложим на простые множители: $45 = 3^2 \cdot 5$ и $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$. Наибольшие степени: $2^2$, $3^2$ и $5$. Следовательно, $\text{EKUK}(45;\,60) = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180$ минут, то есть 3 часа. Ответ: в 12:00.

3-й пример (алгоритм Евклида). Найдите $\text{EKUB}(1071;\,462)$.

Решение. Разложение больших чисел на простые множители занимает много времени. В таком случае удобен алгоритм Евклида: делим большее число на меньшее с остатком, затем делим делитель на полученный остаток и продолжаем, пока остаток не станет нулевым.

$1071 = 462 \cdot 2 + 147$

$462 = 147 \cdot 3 + 21$

$147 = 21 \cdot 7 + 0$

Последний ненулевой остаток — 21. Следовательно, $\text{EKUB}(1071;\,462) = 21$. Действительно: $1071 = 21 \cdot 51$ и $462 = 21 \cdot 22$.

4-й пример (с дробями). Приведите дроби $\dfrac{5}{12}$ и $\dfrac{7}{18}$ к наименьшему общему знаменателю.

Решение. Наименьший общий знаменатель — это $\text{EKUK}(12;\,18)$. Разложим на простые множители: $12 = 2^2 \cdot 3$ и $18 = 2 \cdot 3^2$. Следовательно, $\text{EKUK}(12;\,18) = 2^2 \cdot 3^2 = 36$. Теперь умножим числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель: $\dfrac{5}{12} = \dfrac{15}{36}$ и $\dfrac{7}{18} = \dfrac{14}{36}$.

Упражнение для самостоятельной работы

Найдите $\text{EKUB}(84;\,126)$ и $\text{EKUK}(84;\,126)$. Краткий ответ: EKUB $42$, EKUK $252$. Проверка: $42\cdot252=84\cdot126=10\,584$.

Типичные ошибки

Путаница между EKUB, наибольшим общим делителем, и наименьшим общим кратным. Слова «наибольший» и «наименьшее» в названиях указывают не на величину результата по сравнению с $a$ или $b$, а на его место среди общих делителей или общих кратных. Сначала определите, что требуется в задаче: делитель или время, когда события снова произойдут одновременно.

Считать, что «EKUK, наименьшее общее кратное, — это произведение обоих чисел». Записывать $\text{EKUK}(8;\,12)$ как $96$ неверно: правильный ответ — 24. Произведение равно наименьшему общему кратному только тогда, когда числа взаимно простые, то есть $\text{EKUB}(a;\,b) = 1$.

Выбирать степени наоборот. При вычислении EKUB брать наибольшие степени, а при вычислении наименьшего общего кратного — наименьшие степени — распространённая механическая ошибка. Запомните правило с помощью образов «пересечение и объединение».

Считать 1 простым числом. 1 не является простым числом, поэтому не входит в разложение. Наименьшее простое число — 2.

Не проверять ответ. Проверка по формуле $\text{EKUB} \cdot \text{EKUK} = a \cdot b$ занимает несколько секунд, но позволяет избежать ошибки на экзамене.

Итоги и следующий шаг

• Для наибольшего общего делителя берите общие простые множители в наименьших степенях.
• Для наименьшего общего кратного берите все встречающиеся простые множители в наибольших степенях.
• Для больших чисел алгоритм Евклида может быть быстрее разложения на простые множители.
• Проверьте ответ с помощью $\text{EKUB}\cdot\text{EKUK}=a\cdot b$.
• Узнайте подробнее, как EKUB и EKUK применяются при работе с обыкновенными дробями, или пройдите тест по теме.