Признаки делимости: правила для 2, 3, 4, 5, 9, 10 и 25

Признаки делимости позволяют проверить, делится ли число на заданное число без остатка, не выполняя деление в столбик. Для 2, 5 и 10 достаточно последней цифры; для 4 и 25 — двух последних цифр; для 3 и 9 — суммы цифр.

Ниже объясняется, почему работает каждое правило, приводятся пошаговые примеры и проверки, которые помогут избежать выбора неверного правила.

Сначала введём один термин: если число $a$ делится на $b$ без остатка, то $a$ называют числом, кратным $b$. Например, число $18$ кратно $3$, поскольку $18 = 3 \cdot 6$. Признаки делимости позволяют быстро ответить именно на этот вопрос: «Кратно ли это число заданному числу?»

Признаки делимости на 2, 5 и 10

Все эти признаки учитывают только последнюю цифру.

Делимость на 2: если число оканчивается чётной цифрой ($0, 2, 4, 6, 8$). Например, число $358$ оканчивается на $8$, поэтому делится на 2, а $471$ оканчивается нечётной цифрой, поэтому не делится.

Делимость на 5: если число оканчивается на $0$ или $5$. Числа $815$ и $2\,340$ делятся, а $802$ — нет.

Делимость на 10: если число оканчивается на $0$. По сути, это сочетание признаков делимости на 2 и 5, поскольку $10 = 2 \cdot 5$.

Почему достаточно только последней цифры? Любое натуральное число можно записать в виде $10k + r$ (где $r$ — последняя цифра), а часть $10k$ всегда делится и на 2, и на 5, и на 10. Значит, всё зависит от $r$.

Признаки делимости на 3 и 9

Оба этих признака используют сумму цифр.

Делимость на 3: если сумма цифр делится на 3, то и само число делится на 3.

Делимость на 9: если сумма цифр делится на 9, то число делится на 9.

Например, для числа $714$ получаем $7 + 1 + 4 = 12$. Число $12$ делится на 3, значит, $714$ тоже делится: $714 = 3 \cdot 238$. Но число $12$ не делится на 9, поэтому $714$ тоже не делится на 9.

Важная связь: любое число, кратное 9, кратно и 3, но обратное утверждение верно не всегда.

Признаки делимости на 4 и 25

Теперь используются две последние цифры, поскольку число $100$ делится и на 4, и на 25 — часть числа в разрядах сотен и выше не влияет на проверку.

Делимость на 4: если число, образованное двумя последними цифрами, делится на 4. Например, у числа $1\,936$ две последние цифры образуют число $36$, $36 = 4 \cdot 9$, значит, число $1\,936$ делится на 4.

Делимость на 25: если число оканчивается на $00$, $25$, $50$ или $75$. Например, число $4\,725$ оканчивается на $25$, значит, делится на 25.

Число, оканчивающееся на $00$ (например, $1\,300$), делится и на 4, и на 25, и, конечно, на 100: $1\,300 = 4 \cdot 325 = 25 \cdot 52$.

Примеры с решениями

Пример 1. Для числа $4\,725$ определите, на какие из чисел 2, 3, 4, 5, 9, 10, 25 оно делится.

Решение. Последняя цифра $5$ нечётная, значит, число не делится ни на 2, ни на 10, но делится на 5. Сумма цифр: $4 + 7 + 2 + 5 = 18$; число $18$ делится на 9, значит, исходное число кратно и 3, и 9. Две последние цифры — $25$, значит, число делится на 25, но, поскольку $25$ не делится на 4, исходное число не делится на 4. Проверка: $4\,725 = 9 \cdot 525 = 25 \cdot 189$. Ответ: делится на 3, 5, 9 и 25.

Пример 2. Число $2\,340$ кратно каким из чисел 2, 3, 4, 5, 9, 10 и 25?

Решение. Число оканчивается на $0$, значит, делится на 2, 5 и 10. Сумма цифр: $2 + 3 + 4 + 0 = 9$, значит, число делится также на 3 и 9. Две последние цифры — $40$; $40 = 4 \cdot 10$, значит, число делится на 4. А $40$ отсутствует в списке $00, 25, 50, 75$, поэтому число не делится на 25. Проверка: $2\,340 = 4 \cdot 585 = 9 \cdot 260$. Ответ: кратно всем перечисленным числам, кроме 25.

Пример 3. Чтобы четырёхзначное число вида $\overline{73x2}$ было кратно 9, чему должна равняться цифра $x$?

Решение. Сумма цифр: $7 + 3 + x + 2 = 12 + x$. Эта сумма должна делиться на 9. Поскольку $x$ — цифра, значение $12 + x$ изменяется от $12$ до $21$, а единственное число в этом промежутке, которое делится на 9, — $18$. Значит, $x = 6$. Проверка: $7\,362 = 9 \cdot 818$. Ответ: $x = 6$.

Пример 4. Сколько натуральных чисел от $10$ до $100$, включая обе границы, кратны 25?

Решение. Такое число должно оканчиваться на $25$, $50$, $75$ или $00$. В данном промежутке это числа $25$, $50$, $75$ и $100$. Ответ: $4$.

Упражнение для самостоятельной работы

Чтобы число $\overline{58x6}$ делилось на 9, какой должна быть цифра $x$? Краткий ответ: $5+8+x+6=19+x$; в этом промежутке значение, кратное 9, — $27$, значит, $x=8$.

Типичные ошибки

Использование суммы цифр для проверки делимости на 4. Признак по сумме цифр работает только для 3 и 9. Например, у числа $26$ сумма цифр равна $8$ и делится на 4, но само число $26$ не делится на 4. Для проверки делимости на 4 всегда смотрите на две последние цифры.

Проверка только последней цифры для делимости на 4. Число $14$ оканчивается на $4$, но при делении $14 : 4$ получается остаток. Одной цифры недостаточно — нужны две.

Предположение «Если число делится на 3, то оно делится и на 9». Число $21$ кратно 3 ($2 + 1 = 3$), но не делится на 9. Утверждение верно только в обратном направлении: число, делящееся на 9, делится и на 3.

Проверка делимости на 25 только по тому, что число оканчивается на $5$. Число $135$ делится на 5, но две его последние цифры — $35$, поэтому оно не кратно 25.

Итоги и следующий шаг

• Для 2, 5 и 10 проверяйте только последнюю цифру.
• Для 4 и 25 проверяйте число, образованное двумя последними цифрами.
• Для 3 и 9 используйте сумму цифр; не применяйте этот способ для 4.
• По возможности подтверждайте результат делением или умножением.
• Изучите связь между делимостью и общими делителями или выполните тематические тесты.