Bo'linish belgilari: 2, 3, 4, 5, 9, 10 va 25 qoidalari

Bo'linish belgilari sonni ustun usulida bo'lmasdan turib, uning berilgan songa qoldiqsiz bo'linishini tekshiradi. 2, 5 va 10 uchun oxirgi raqam; 4 va 25 uchun oxirgi ikki raqam; 3 va 9 uchun esa raqamlar yig'indisi yetarli.

Quyida har bir qoida nima uchun ishlashi, qadam-baqadam misollar va noto'g'ri qoida tanlashdan saqlaydigan tekshiruvlar berilgan.

Avval bitta atama: agar $a$ soni $b$ ga qoldiqsiz bo'linsa, $a$ ni $b$ ga karrali son deymiz. Masalan, $18$ soni $3$ ga karrali, chunki $18 = 3 \cdot 6$. Bo'linish belgilari aynan shu savolga — "bu son berilgan songa karralimi?" — tez javob beradi.

2, 5 va 10 ga bo'linish belgilari

Bu uchala belgi faqat oxirgi raqamga qaraydi.

2 ga bo'linish: son juft raqam ($0, 2, 4, 6, 8$) bilan tugasa. Masalan, $358$ soni $8$ bilan tugagani uchun 2 ga bo'linadi, $471$ esa toq raqam bilan tugagani uchun bo'linmaydi.

5 ga bo'linish: son $0$ yoki $5$ bilan tugasa. $815$ va $2\,340$ — bo'linadi, $802$ — yo'q.

10 ga bo'linish: son $0$ bilan tugasa. Bu aslida 2 va 5 belgilarining birlashmasi, chunki $10 = 2 \cdot 5$.

Nega faqat oxirgi raqam yetarli? Har qanday natural sonni $10k + r$ ko'rinishida yozish mumkin (bu yerda $r$ — oxirgi raqam), $10k$ qismi esa 2 ga ham, 5 ga ham, 10 ga ham doim bo'linadi. Demak, hamma narsa $r$ ga bog'liq.

3 va 9 ga bo'linish belgilari

Bu ikkala belgi raqamlar yig'indisi bilan ishlaydi.

3 ga bo'linish: raqamlar yig'indisi 3 ga bo'linsa, sonning o'zi ham 3 ga bo'linadi.

9 ga bo'linish: raqamlar yig'indisi 9 ga bo'linsa, son 9 ga bo'linadi.

Masalan, $714$ uchun $7 + 1 + 4 = 12$. $12$ soni 3 ga bo'linadi, demak $714$ ham bo'linadi: $714 = 3 \cdot 238$. Lekin $12$ soni 9 ga bo'linmaydi, shuning uchun $714$ ham 9 ga bo'linmaydi.

Muhim bog'liqlik: 9 ga karrali har qanday son 3 ga ham karrali, ammo teskarisi har doim ham to'g'ri emas.

4 va 25 ga bo'linish belgilari

Endi oxirgi ikki raqam ishga tushadi, chunki $100$ soni ham 4 ga, ham 25 ga bo'linadi — sonning yuzliklardan yuqori qismi tekshiruvga ta'sir qilmaydi.

4 ga bo'linish: oxirgi ikki raqamdan tuzilgan son 4 ga bo'linsa. Masalan, $1\,936$ da oxirgi ikki raqam $36$, $36 = 4 \cdot 9$, demak $1\,936$ soni 4 ga bo'linadi.

25 ga bo'linish: son $00$, $25$, $50$ yoki $75$ bilan tugasa. Masalan, $4\,725$ soni $25$ bilan tugaydi, demak 25 ga bo'linadi.

$00$ bilan tugagan son (masalan, $1\,300$) 4 ga ham, 25 ga ham, tabiiyki 100 ga ham bo'linadi: $1\,300 = 4 \cdot 325 = 25 \cdot 52$.

Ishlangan misollar

Misol 1. $4\,725$ soni 2, 3, 4, 5, 9, 10, 25 sonlaridan qaysilariga bo'linishini aniqlang.

Yechim. Oxirgi raqami $5$ — toq, demak 2 ga va 10 ga bo'linmaydi, lekin 5 ga bo'linadi. Raqamlar yig'indisi: $4 + 7 + 2 + 5 = 18$; $18$ soni 9 ga bo'linadi, demak son 3 ga ham, 9 ga ham karrali. Oxirgi ikki raqami $25$ — demak 25 ga bo'linadi, lekin $25$ soni 4 ga bo'linmagani uchun 4 ga bo'linmaydi. Tekshiruv: $4\,725 = 9 \cdot 525 = 25 \cdot 189$. Javob: 3, 5, 9 va 25 ga bo'linadi.

Misol 2. $2\,340$ soni 2, 3, 4, 5, 9, 10 va 25 ning qaysilariga karrali?

Yechim. Son $0$ bilan tugaydi — demak 2, 5 va 10 ga bo'linadi. Raqamlar yig'indisi: $2 + 3 + 4 + 0 = 9$ — demak 3 va 9 ga ham bo'linadi. Oxirgi ikki raqami $40$; $40 = 4 \cdot 10$, demak 4 ga bo'linadi. $40$ esa $00, 25, 50, 75$ ro'yxatida yo'q — 25 ga bo'linmaydi. Tekshiruv: $2\,340 = 4 \cdot 585 = 9 \cdot 260$. Javob: 25 dan tashqari hammasiga karrali.

Misol 3. $\overline{73x2}$ ko'rinishidagi to'rt xonali son 9 ga karrali bo'lishi uchun $x$ raqami nechaga teng bo'lishi kerak?

Yechim. Raqamlar yig'indisi: $7 + 3 + x + 2 = 12 + x$. Bu yig'indi 9 ga bo'linishi kerak. $x$ raqam bo'lgani uchun $12 + x$ qiymati $12$ dan $21$ gacha o'zgaradi, bu oraliqda 9 ga bo'linadigan yagona son — $18$. Demak, $x = 6$. Tekshiruv: $7\,362 = 9 \cdot 818$. Javob: $x = 6$.

Misol 4. $10$ dan $100$ gacha, ikkala chegara ham kirgan holda, 25 ga karrali natural sonlar nechta?

Yechim. Bunday son $25$, $50$, $75$ yoki $00$ bilan tugashi kerak. Oraliqda ular: $25$, $50$, $75$ va $100$. Javob: $4$ ta.

Mustaqil mashq

$\overline{58x6}$ soni 9 ga bo'linishi uchun $x$ qaysi raqam bo'lishi kerak? Qisqa javob: $5+8+x+6=19+x$; bu oraliqda 9 ga karrali qiymat $27$, demak $x=8$.

Tipik xatolar

Raqamlar yig'indisini 4 ga qo'llash. Yig'indi belgisi faqat 3 va 9 uchun ishlaydi. Masalan, $26$ da raqamlar yig'indisi $8$ bo'lib 4 ga bo'linadi, lekin $26$ ning o'zi 4 ga bo'linmaydi. 4 uchun doim oxirgi ikki raqamga qarang.

4 uchun faqat oxirgi raqamni tekshirish. $14$ soni $4$ bilan tugaydi, ammo $14 : 4$ qoldiqli. Bitta raqam yetarli emas — ikki raqam kerak.

"3 ga bo'linsa, 9 ga ham bo'linadi" deb o'ylash. $21$ soni 3 ga karrali ($2 + 1 = 3$), lekin 9 ga bo'linmaydi. Mantiq faqat teskari yo'nalishda ishlaydi: 9 ga bo'lingan son 3 ga ham bo'linadi.

25 uchun faqat $5$ bilan tugashni tekshirish. $135$ soni 5 ga bo'linadi, lekin oxirgi ikki raqami $35$ bo'lgani uchun 25 ga karrali emas.

Xulosa va keyingi qadam

• 2, 5 va 10 uchun faqat oxirgi raqamni tekshiring.
• 4 va 25 uchun oxirgi ikki raqamdan tuzilgan sonni tekshiring.
• 3 va 9 uchun raqamlar yig'indisidan foydalaning; bu usulni 4 ga qo'llamang.
• Natijani imkon bo'lsa bo'linma yoki ko'paytma bilan tasdiqlang.
• Bo'linish va umumiy bo'luvchilar orasidagi bog'lanishni o'rganing yoki mavzuli testlarni yeching.