Skip to main content
PPrime
⬅️ Back to list

July 29, 2026

Oddiy kasrlar ustida amallar: qisqartirish, taqqoslash va hisoblash

Oddiy kasrlar — maktab matematikasining eng «serqatnov» mavzularidan biri: foizlar, nisbatlar, tenglamalar va geometrik masalalarda ham ular qayta-qayta uchraydi. Shunga qaramay, kasrlar ustida amallar ko'p o'quvchilar uchun qoqiladigan tosh bo'lib qolmoqda. Yaxshi xabar shuki, bu mavzuda yodlanadigan qoidalar juda oz — muhimi ularni to'g'ri tartibda, shoshilmasdan qo'llash.

Quyida kasrlarni qisqartirish, taqqoslash va to'rtta arifmetik amalni ishlangan misollar bilan ko'rib chiqamiz. Har bir misolni daftarda o'zingiz ham yechib boring: kasrlar faqat mashq orqali qo'lga o'rganadi.

## Kasrlarni qisqartirish: EKUB bilan ishlaymiz

Kasrning asosiy xossasiga ko'ra, surat va maxrajni nolga teng bo'lmagan bitta songa bo'lsak, kasrning qiymati o'zgarmaydi. Kasrlarni qisqartirish — surat va maxrajni ularning umumiy bo'luvchisiga bo'lish demak. Eng tez yo'l — darhol eng katta umumiy bo'luvchiga (EKUB) bo'lish: shunda kasr bir qadamda qisqarmas ko'rinishga keladi.

**Misol 1.** 3648\frac{36}{48} kasrni qisqartiring.

Yechim: 36=12⋅336 = 12 \cdot 3 va 48=12⋅448 = 12 \cdot 4 ekanini payqaymiz, demak EKUB(36; 48)=12\mathrm{EKUB}(36;\,48) = 12. Surat va maxrajni 12 ga bo'lamiz: 3648=36:1248:12=34\frac{36}{48} = \frac{36:12}{48:12} = \frac{3}{4}.

Agar EKUB darrov ko'rinmasa, bosqichma-bosqich qisqartiring: avval 2 ga (1824\frac{18}{24}), yana 2 ga (912\frac{9}{12}), so'ng 3 ga (34\frac{3}{4}). Natija bir xil, faqat qadamlar ko'proq bo'ladi. Katta sonlarda esa surat va maxrajni tub ko'paytuvchilarga ajratish qulay: umumiy ko'paytuvchilar chizib tashlanadi, qolganlari javobni beradi.

## Kasrlarni taqqoslash usullari

Taqqoslashda uchta holatni bilish yetarli. Maxrajlar teng bo'lsa, surati kattasi katta. Suratlar teng bo'lsa, maxraji kichigi katta, chunki bo'laklar yirikroq bo'ladi. Umumiy holda esa kasrlarni umumiy maxrajga keltiramiz yoki «ko'ndalang ko'paytirish»dan foydalanamiz: ab\frac{a}{b} va cd\frac{c}{d} uchun a⋅da \cdot d bilan c⋅bc \cdot b ko'paytmalarini solishtiramiz.

**Misol 2.** 58\frac{5}{8} va 712\frac{7}{12} kasrlarni taqqoslang.

Yechim: umumiy maxraj sifatida EKUK(8; 12)=24\mathrm{EKUK}(8;\,12) = 24 ni olamiz. U holda 58=1524\frac{5}{8} = \frac{15}{24} va 712=1424\frac{7}{12} = \frac{14}{24}. 15>1415 > 14 bo'lgani uchun 58>712\frac{5}{8} > \frac{7}{12}.

Tekshiramiz (ko'ndalang usul): 5⋅12=605 \cdot 12 = 60 va 7⋅8=567 \cdot 8 = 56; 60>5660 > 56 bo'lgani uchun xulosa to'g'ri.

Yana bir foydali hiyla — kasrlarni «tayanch» songa solishtirish. Masalan, 49<12\frac{4}{9} < \frac{1}{2} va 611>12\frac{6}{11} > \frac{1}{2} ekanini darhol ko'rish mumkin, demak umumiy maxraj qidirmasdan ham 611\frac{6}{11} kattaligi ayon. Bunday baholash testlarda vaqtni sezilarli tejaydi.

## Qo'shish va ayirish: umumiy maxraj shart

Maxrajlari teng kasrlarda suratlar qo'shiladi yoki ayiriladi, maxraj esa o'zgarishsiz qoladi. Maxrajlar har xil bo'lsa, avval ularni eng kichik umumiy karraliga (EKUK) keltiramiz, keyin amalni bajaramiz. Oxirida javobni albatta qisqartirilgan holda yozamiz.

**Misol 3.** Hisoblang: 34+56−712\frac{3}{4} + \frac{5}{6} - \frac{7}{12}.

Yechim: EKUK(4; 6; 12)=12\mathrm{EKUK}(4;\,6;\,12) = 12. Har bir kasrni 12 maxrajga keltiramiz: 34=912\frac{3}{4} = \frac{9}{12}, 56=1012\frac{5}{6} = \frac{10}{12}, uchinchi kasr o'z holicha qoladi. Endi 912+1012−712=9+10−712=1212=1\frac{9}{12} + \frac{10}{12} - \frac{7}{12} = \frac{9 + 10 - 7}{12} = \frac{12}{12} = 1.

Javob: 11. E'tibor bering: umumiy maxraj sifatida maxrajlar ko'paytmasini emas, EKUKni olish hisobni ancha yengillashtiradi.

## Ko'paytirish va bo'lish: eng sodda amallar

Ko'paytirishda surat suratga, maxraj maxrajga ko'paytiriladi: ab⋅cd=a⋅cb⋅d\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}. Bo'lishda esa birinchi kasr ikkinchisining teskarisiga ko'paytiriladi: ab:cd=ab⋅dc\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}. Muhim uslubiy maslahat: ko'paytirishdan oldin qisqartiring — sonlar kichik bo'lib, xato ehtimoli keskin kamayadi.

**Misol 4.** Hisoblang: 49:815\frac{4}{9} : \frac{8}{15}.

Yechim: bo'lishni ko'paytirishga almashtiramiz: 49:815=49⋅158\frac{4}{9} : \frac{8}{15} = \frac{4}{9} \cdot \frac{15}{8}. Ko'paytirishdan oldin qisqartiramiz: 44 va 88 ni 44 ga (11 va 22 qoladi), 1515 va 99 ni 33 ga (55 va 33 qoladi). Natijada 13⋅52=56\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{6}.

Tekshiramiz: to'g'ridan-to'g'ri hisoblasak 4⋅159⋅8=6072\frac{4 \cdot 15}{9 \cdot 8} = \frac{60}{72}, buni 12 ga qisqartirsak yana 56\frac{5}{6} chiqadi.

Aralash sonlar qatnashsa, avval ularni noto'g'ri kasrga o'giring: masalan, 213=2⋅3+13=732\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}. Shundan keyin barcha qoidalar odatdagidek ishlaydi: 213⋅914=73⋅914=6342=32=1122\frac{1}{3} \cdot \frac{9}{14} = \frac{7}{3} \cdot \frac{9}{14} = \frac{63}{42} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}. Natural son qatnashganda esa uni maxraji 1 bo'lgan kasr deb qarang: 5=515 = \frac{5}{1}, shunda 5:23=51⋅32=152=7125 : \frac{2}{3} = \frac{5}{1} \cdot \frac{3}{2} = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} kabi misollar ham bitta qoidaga bo'ysunadi.

## Tipik xatolar va ulardan saqlanish

Quyidagi xatolar deyarli har bir sinfda uchraydi — ularni oldindan bilgan o'quvchi kamdan-kam adashadi.

- **«Surat suratga, maxraj maxrajga» deb qo'shish.** 12+13\frac{1}{2} + \frac{1}{3} hech qachon 25\frac{2}{5} bo'lmaydi. To'g'ri yo'l — umumiy maxraj: 36+26=56\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}.
- **Qo'shiluvchini «qisqartirish».** 3+53\frac{3+5}{3} ifodadagi uchliklarni o'chirib bo'lmaydi: qisqartirish faqat ko'paytuvchilarga tegishli, yig'indining bitta hadiga emas.
- **Bo'lishda noto'g'ri kasrni ag'darish.** Faqat ikkinchi kasr, ya'ni bo'luvchi teskari ag'dariladi; birinchisini ag'darsangiz, javob teskari chiqadi.
- **Taqqoslashda faqat bitta qismga qarash.** «Maxraji kattaroq — demak kasr kattaroq» degan xulosa noto'g'ri: suratlar teng bo'lganda aksincha, maxraji katta kasr kichik bo'ladi.
- **Javobni qisqartirmaslik.** 6072\frac{60}{72} arifmetik jihatdan to'g'ri, ammo yakuniy javob sifatida 56\frac{5}{6} kutiladi; testlarda ko'pincha aynan qisqartirilgan variant beriladi.

Yakuniy maslahat: har bir amaldan so'ng «javobni yana qisqartirsam bo'ladimi?» deb so'rashni odat qiling va murakkab misollarda oraliq natijalarni tekshirib boring — kasrlardagi xatolarning ko'pchiligi e'tiborsizlikdan kelib chiqadi.

Bugungi qoidalarni mustahkamlash uchun Prime Matematika'dagi kunlik masala va kasrlar bo'yicha testlardan birini hoziroq yechib ko'ring.