July 29, 2026
Bo'linish belgilari: 2, 3, 4, 5, 9, 10, 25 ga bo'linish qoidalari
Katta sonni kalkulyatorsiz tekshirishga to'g'ri kelganda bo'linish belgilari eng tez ishlaydigan vositadir: ular bo'lish amalini bajarmasdan turib, son qoldiqsiz bo'linadimi-yo'qmi, shuni bir necha soniyada aytib beradi. Bu maqolada 2, 3, 4, 5, 9, 10 va 25 ga bo'linish qoidalarini, to'liq yechilgan misollarni va o'quvchilar eng ko'p yo'l qo'yadigan xatolarni ko'rib chiqamiz.
Avval bitta atama: agar soni ga qoldiqsiz bo'linsa, ni ga karrali son deymiz. Masalan, soni ga karrali, chunki . Bo'linish belgilari aynan shu savolga — "bu son berilgan songa karralimi?" — tez javob beradi.
## 2, 5 va 10 ga bo'linish belgilari
Bu uchala belgi faqat oxirgi raqamga qaraydi.
**2 ga bo'linish:** son juft raqam () bilan tugasa. Masalan, soni bilan tugagani uchun 2 ga bo'linadi, esa toq raqam bilan tugagani uchun bo'linmaydi.
**5 ga bo'linish:** son yoki bilan tugasa. va — bo'linadi, — yo'q.
**10 ga bo'linish:** son bilan tugasa. Bu aslida 2 va 5 belgilarining birlashmasi, chunki .
Nega faqat oxirgi raqam yetarli? Har qanday natural sonni ko'rinishida yozish mumkin (bu yerda — oxirgi raqam), qismi esa 2 ga ham, 5 ga ham, 10 ga ham doim bo'linadi. Demak, hamma narsa ga bog'liq.
## 3 va 9 ga bo'linish belgilari
Bu ikkala belgi raqamlar yig'indisi bilan ishlaydi.
**3 ga bo'linish:** raqamlar yig'indisi 3 ga bo'linsa, sonning o'zi ham 3 ga bo'linadi.
**9 ga bo'linish:** raqamlar yig'indisi 9 ga bo'linsa, son 9 ga bo'linadi.
Masalan, uchun . soni 3 ga bo'linadi, demak ham bo'linadi: . Lekin soni 9 ga bo'linmaydi, shuning uchun ham 9 ga bo'linmaydi.
Muhim bog'liqlik: 9 ga karrali har qanday son 3 ga ham karrali, ammo teskarisi har doim ham to'g'ri emas.
## 4 va 25 ga bo'linish belgilari
Endi oxirgi ikki raqam ishga tushadi, chunki soni ham 4 ga, ham 25 ga bo'linadi — sonning yuzliklardan yuqori qismi tekshiruvga ta'sir qilmaydi.
**4 ga bo'linish:** oxirgi ikki raqamdan tuzilgan son 4 ga bo'linsa. Masalan, da oxirgi ikki raqam , , demak soni 4 ga bo'linadi.
**25 ga bo'linish:** son , , yoki bilan tugasa. Masalan, soni bilan tugaydi, demak 25 ga bo'linadi.
bilan tugagan son (masalan, ) 4 ga ham, 25 ga ham, tabiiyki 100 ga ham bo'linadi: .
## Ishlangan misollar
**Misol 1.** soni 2, 3, 4, 5, 9, 10, 25 sonlaridan qaysilariga bo'linishini aniqlang.
*Yechim.* Oxirgi raqami — toq, demak 2 ga va 10 ga bo'linmaydi, lekin 5 ga bo'linadi. Raqamlar yig'indisi: ; soni 9 ga bo'linadi, demak son 3 ga ham, 9 ga ham karrali. Oxirgi ikki raqami — demak 25 ga bo'linadi, lekin soni 4 ga bo'linmagani uchun 4 ga bo'linmaydi. Tekshiruv: . Javob: 3, 5, 9 va 25 ga bo'linadi.
**Misol 2.** soni 2, 3, 4, 5, 9, 10 va 25 ning qaysilariga karrali?
*Yechim.* Son bilan tugaydi — demak 2, 5 va 10 ga bo'linadi. Raqamlar yig'indisi: — demak 3 va 9 ga ham bo'linadi. Oxirgi ikki raqami ; , demak 4 ga bo'linadi. esa ro'yxatida yo'q — 25 ga bo'linmaydi. Tekshiruv: . Javob: 25 dan tashqari hammasiga karrali.
**Misol 3.** ko'rinishidagi to'rt xonali son 9 ga karrali bo'lishi uchun raqami nechaga teng bo'lishi kerak?
*Yechim.* Raqamlar yig'indisi: . Bu yig'indi 9 ga bo'linishi kerak. raqam bo'lgani uchun qiymati dan gacha o'zgaradi, bu oraliqda 9 ga bo'linadigan yagona son — . Demak, . Tekshiruv: . Javob: .
**Misol 4.** dan gacha bo'lgan natural sonlar orasida 25 ga karrali sonlar nechta?
*Yechim.* Bunday son , , yoki bilan tugashi kerak. Oraliqda ular: , , va . Javob: ta.
## Tipik xatolar
**Raqamlar yig'indisini 4 ga qo'llash.** Yig'indi belgisi faqat 3 va 9 uchun ishlaydi. Masalan, da raqamlar yig'indisi bo'lib 4 ga bo'linadi, lekin ning o'zi 4 ga bo'linmaydi. 4 uchun doim oxirgi ikki raqamga qarang.
**4 uchun faqat oxirgi raqamni tekshirish.** soni bilan tugaydi, ammo qoldiqli. Bitta raqam yetarli emas — ikki raqam kerak.
**"3 ga bo'linsa, 9 ga ham bo'linadi" deb o'ylash.** soni 3 ga karrali (), lekin 9 ga bo'linmaydi. Mantiq faqat teskari yo'nalishda ishlaydi: 9 ga bo'lingan son 3 ga ham bo'linadi.
**25 uchun faqat bilan tugashni tekshirish.** soni 5 ga bo'linadi, lekin oxirgi ikki raqami bo'lgani uchun 25 ga karrali emas.
Yakuniy maslahat: belgilarni yodlab olishning o'zi kam — ularni refleksga aylantiring. Mashina raqamini, chek summasini yoki uy raqamini ko'rganda "bu 3 ga bo'linadimi? 4 gachi?" deb o'zingizni tez-tez sinab boring: bir-ikki haftada tekshiruv avtomatik odatga aylanadi.
Bu mavzuni mustahkamlash uchun Prime Matematika'dagi kunlik masala va bo'linish belgilariga oid testlarni yechib ko'ring — qoidalar aynan mashqda esda qoladi.
Avval bitta atama: agar soni ga qoldiqsiz bo'linsa, ni ga karrali son deymiz. Masalan, soni ga karrali, chunki . Bo'linish belgilari aynan shu savolga — "bu son berilgan songa karralimi?" — tez javob beradi.
## 2, 5 va 10 ga bo'linish belgilari
Bu uchala belgi faqat oxirgi raqamga qaraydi.
**2 ga bo'linish:** son juft raqam () bilan tugasa. Masalan, soni bilan tugagani uchun 2 ga bo'linadi, esa toq raqam bilan tugagani uchun bo'linmaydi.
**5 ga bo'linish:** son yoki bilan tugasa. va — bo'linadi, — yo'q.
**10 ga bo'linish:** son bilan tugasa. Bu aslida 2 va 5 belgilarining birlashmasi, chunki .
Nega faqat oxirgi raqam yetarli? Har qanday natural sonni ko'rinishida yozish mumkin (bu yerda — oxirgi raqam), qismi esa 2 ga ham, 5 ga ham, 10 ga ham doim bo'linadi. Demak, hamma narsa ga bog'liq.
## 3 va 9 ga bo'linish belgilari
Bu ikkala belgi raqamlar yig'indisi bilan ishlaydi.
**3 ga bo'linish:** raqamlar yig'indisi 3 ga bo'linsa, sonning o'zi ham 3 ga bo'linadi.
**9 ga bo'linish:** raqamlar yig'indisi 9 ga bo'linsa, son 9 ga bo'linadi.
Masalan, uchun . soni 3 ga bo'linadi, demak ham bo'linadi: . Lekin soni 9 ga bo'linmaydi, shuning uchun ham 9 ga bo'linmaydi.
Muhim bog'liqlik: 9 ga karrali har qanday son 3 ga ham karrali, ammo teskarisi har doim ham to'g'ri emas.
## 4 va 25 ga bo'linish belgilari
Endi oxirgi ikki raqam ishga tushadi, chunki soni ham 4 ga, ham 25 ga bo'linadi — sonning yuzliklardan yuqori qismi tekshiruvga ta'sir qilmaydi.
**4 ga bo'linish:** oxirgi ikki raqamdan tuzilgan son 4 ga bo'linsa. Masalan, da oxirgi ikki raqam , , demak soni 4 ga bo'linadi.
**25 ga bo'linish:** son , , yoki bilan tugasa. Masalan, soni bilan tugaydi, demak 25 ga bo'linadi.
bilan tugagan son (masalan, ) 4 ga ham, 25 ga ham, tabiiyki 100 ga ham bo'linadi: .
## Ishlangan misollar
**Misol 1.** soni 2, 3, 4, 5, 9, 10, 25 sonlaridan qaysilariga bo'linishini aniqlang.
*Yechim.* Oxirgi raqami — toq, demak 2 ga va 10 ga bo'linmaydi, lekin 5 ga bo'linadi. Raqamlar yig'indisi: ; soni 9 ga bo'linadi, demak son 3 ga ham, 9 ga ham karrali. Oxirgi ikki raqami — demak 25 ga bo'linadi, lekin soni 4 ga bo'linmagani uchun 4 ga bo'linmaydi. Tekshiruv: . Javob: 3, 5, 9 va 25 ga bo'linadi.
**Misol 2.** soni 2, 3, 4, 5, 9, 10 va 25 ning qaysilariga karrali?
*Yechim.* Son bilan tugaydi — demak 2, 5 va 10 ga bo'linadi. Raqamlar yig'indisi: — demak 3 va 9 ga ham bo'linadi. Oxirgi ikki raqami ; , demak 4 ga bo'linadi. esa ro'yxatida yo'q — 25 ga bo'linmaydi. Tekshiruv: . Javob: 25 dan tashqari hammasiga karrali.
**Misol 3.** ko'rinishidagi to'rt xonali son 9 ga karrali bo'lishi uchun raqami nechaga teng bo'lishi kerak?
*Yechim.* Raqamlar yig'indisi: . Bu yig'indi 9 ga bo'linishi kerak. raqam bo'lgani uchun qiymati dan gacha o'zgaradi, bu oraliqda 9 ga bo'linadigan yagona son — . Demak, . Tekshiruv: . Javob: .
**Misol 4.** dan gacha bo'lgan natural sonlar orasida 25 ga karrali sonlar nechta?
*Yechim.* Bunday son , , yoki bilan tugashi kerak. Oraliqda ular: , , va . Javob: ta.
## Tipik xatolar
**Raqamlar yig'indisini 4 ga qo'llash.** Yig'indi belgisi faqat 3 va 9 uchun ishlaydi. Masalan, da raqamlar yig'indisi bo'lib 4 ga bo'linadi, lekin ning o'zi 4 ga bo'linmaydi. 4 uchun doim oxirgi ikki raqamga qarang.
**4 uchun faqat oxirgi raqamni tekshirish.** soni bilan tugaydi, ammo qoldiqli. Bitta raqam yetarli emas — ikki raqam kerak.
**"3 ga bo'linsa, 9 ga ham bo'linadi" deb o'ylash.** soni 3 ga karrali (), lekin 9 ga bo'linmaydi. Mantiq faqat teskari yo'nalishda ishlaydi: 9 ga bo'lingan son 3 ga ham bo'linadi.
**25 uchun faqat bilan tugashni tekshirish.** soni 5 ga bo'linadi, lekin oxirgi ikki raqami bo'lgani uchun 25 ga karrali emas.
Yakuniy maslahat: belgilarni yodlab olishning o'zi kam — ularni refleksga aylantiring. Mashina raqamini, chek summasini yoki uy raqamini ko'rganda "bu 3 ga bo'linadimi? 4 gachi?" deb o'zingizni tez-tez sinab boring: bir-ikki haftada tekshiruv avtomatik odatga aylanadi.
Bu mavzuni mustahkamlash uchun Prime Matematika'dagi kunlik masala va bo'linish belgilariga oid testlarni yechib ko'ring — qoidalar aynan mashqda esda qoladi.