Перейти к основному содержанию
PPrime
⬅️ Назад к списку

29 июля 2026 г.

Kvadrat tenglamani yechish usullari: diskriminant, Viet teoremasi

Kvadrat tenglama — maktab algebrasining poydevor mavzularidan biri. U ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 ko'rinishida yoziladi, bunda a≠0a \neq 0. Funksiya grafiklari, tengsizliklar, hatto harakatga doir fizika masalalari ham ko'pincha aynan shu tenglamaga kelib taqaladi. Shuning uchun uni ishonchli va tez yecha olish keyingi barcha mavzularning kaliti hisoblanadi. Quyida ikkita asosiy usul — diskriminant va Viet teoremasi — qadam-baqadam, ishlangan misollar bilan tushuntiriladi.

## Kvadrat tenglama va uning turlari

Umumiy ko'rinish: ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0, bu yerda aa — bosh koeffitsiyent, bb — ikkinchi koeffitsiyent, cc — ozod had. a=0a = 0 bo'lsa, tenglama chiziqliga aylanadi, shuning uchun a≠0a \neq 0 sharti majburiy.

Agar b=0b = 0 yoki c=0c = 0 bo'lsa, tenglama chala kvadrat tenglama deyiladi va uni formulasiz ham yechish mumkin:

- ax2+c=0ax^2 + c = 0 ko'rinishda ildizni bevosita olamiz: 3x2−12=03x^2 - 12 = 0 dan x2=4x^2 = 4, demak x=±2x = \pm 2;
- ax2+bx=0ax^2 + bx = 0 ko'rinishda ko'paytuvchilarga ajratamiz: x2+5x=0x^2 + 5x = 0 dan x(x+5)=0x(x + 5) = 0, demak x=0x = 0 yoki x=−5x = -5.

To'liq tenglama uchun esa universal qurol — diskriminant.

## Diskriminant orqali yechish

Diskriminant quyidagi formula bilan topiladi:

D=b2−4acD = b^2 - 4ac

Uning ishorasi ildizlar sonini oldindan aytib beradi: D>0D > 0 bo'lsa ikkita har xil haqiqiy ildiz, D=0D = 0 bo'lsa bitta (ikki karrali) ildiz, D<0D < 0 bo'lsa haqiqiy ildiz yo'q.

Ildizlar formulasi: x1,2=−b±D2ax_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.

**1-misol.** 2x2+3x−5=02x^2 + 3x - 5 = 0 tenglamani yeching.

Koeffitsiyentlar: a=2a = 2, b=3b = 3, c=−5c = -5. Diskriminant: D=32−4⋅2⋅(−5)=9+40=49D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49. 49=7\sqrt{49} = 7 bo'lgani uchun:

x1=−3+74=1x_1 = \dfrac{-3 + 7}{4} = 1, x2=−3−74=−52\quad x_2 = \dfrac{-3 - 7}{4} = -\dfrac{5}{2}.

Tekshiramiz: 2⋅12+3⋅1−5=02 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 - 5 = 0 — to'g'ri. Javob: x1=1x_1 = 1, x2=−2,5x_2 = -2{,}5.

**2-misol.** x2−6x+9=0x^2 - 6x + 9 = 0 tenglamani yeching.

D=(−6)2−4⋅1⋅9=36−36=0D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0. Demak, ildiz bitta: x=62=3x = \dfrac{6}{2} = 3. Buni (x−3)2=0(x - 3)^2 = 0 ko'rinishida ham ko'rish mumkin — chap tomon to'liq kvadratga ajraladi.

## Viet teoremasi: og'zaki yechish san'ati

Keltirilgan kvadrat tenglama uchun, ya'ni x2+px+q=0x^2 + px + q = 0 ko'rinishda (a=1a = 1), Viet teoremasi shunday deydi: agar ildizlar mavjud bo'lsa,

x1+x2=−px_1 + x_2 = -p \quad va x1⋅x2=q\quad x_1 \cdot x_2 = q.

Boshqacha aytganda, ildizlar yig'indisi ikkinchi koeffitsiyentga teskari ishora bilan, ko'paytmasi esa ozod hadga teng. Koeffitsiyentlar kichik butun sonlar bo'lganda bu usul ildizlarni og'zaki topish imkonini beradi.

**3-misol.** x2+7x+12=0x^2 + 7x + 12 = 0 tenglamani yeching.

Ko'paytmasi 1212, yig'indisi −7-7 bo'lgan ikkita son qidiramiz. Ko'paytma musbat — ildizlar bir xil ishorali; yig'indi manfiy — demak, ikkalasi ham manfiy. (−3)⋅(−4)=12(-3) \cdot (-4) = 12 va (−3)+(−4)=−7(-3) + (-4) = -7. Javob: x1=−3x_1 = -3, x2=−4x_2 = -4.

Ishonch hosil qilish uchun diskriminant bilan tekshiramiz: D=49−48=1D = 49 - 48 = 1, x=−7±12x = \dfrac{-7 \pm 1}{2}, ya'ni −3-3 va −4-4 — mos keldi.

**4-misol.** x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0 tenglamani yeching.

Yig'indisi 55, ko'paytmasi 66 bo'lgan sonlar — bular 22 va 33. Javob: x1=2x_1 = 2, x2=3x_2 = 3. O'rniga qo'yib tekshirish ham buni tasdiqlaydi: 22−5⋅2+6=02^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 0.

Agar a≠1a \neq 1 bo'lsa, avval hamma hadni aa ga bo'lib, keltirilgan ko'rinishga o'tish mumkin. Kasr koeffitsiyentlar chiqib qolsa, qiynalmasdan diskriminantga qayting — bu tabiiy tanlov.

Viet teoremasi teskari yo'nalishda ham ishlaydi: ildizlari berilgan tenglamani tiklash yoki x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 kabi ifodalarni tenglamani yechmasdan hisoblash uchun juda qulay.

## Tipik xatolar va ulardan qochish yo'llari

Amaliyotda eng ko'p uchraydigan xatolar quyidagilar:

- **Ishorani yo'qotish.** cc manfiy bo'lsa, −4ac-4ac hadi musbatga aylanadi. 1-misolda 9+409 + 40 o'rniga 9−409 - 40 deb yozish butun yechimni buzadi. Manfiy koeffitsiyentlarni qavs ichida qo'yib hisoblash odat bo'lsin.

- **Maxrajdagi 2a2a ni unutish.** Formulada maxraj 2a2a, shunchaki 22 emas: a=2a = 2 bo'lsa, maxraj 44 bo'ladi.

- **Viet teoremasida ishora adashuvi.** Yig'indi −p-p ga teng, pp ga emas. x2+7x+12=0x^2 + 7x + 12 = 0 da ildizlar yig'indisi −7-7, ko'paytmasi +12+12.

- **D=0D = 0 ni "ildiz yo'q" deb o'ylash.** Aslida bitta (ikki karrali) ildiz bor; ildiz umuman bo'lmasligi faqat D<0D < 0 holatga tegishli.

- **Tenglamani standart ko'rinishga keltirmaslik.** x2=5x−6x^2 = 5x - 6 dan koeffitsiyentlarni to'g'ridan-to'g'ri olib bo'lmaydi; avval x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0 ko'rinishga keltiriladi.

- **Tekshirmaslik.** Topilgan ildizni tenglamaga qo'yib ko'rish bor-yo'g'i o'ttiz soniya oladi, lekin imtihonda bir necha ballni saqlab qolishi mumkin.

Yakuniy maslahat: koeffitsiyentlar kichik va a=1a = 1 bo'lsa, avval Viet teoremasi bilan og'zaki urinib ko'ring; ikki-uch soniyada javob "ko'rinmasa", diskriminantga o'ting — u hech qachon pand bermaydi. Bu ikki usulni parallel ishlatish tezlikni ham, ishonchni ham oshiradi, chunki biri ikkinchisini tekshirib turadi.

Mavzuni chinakam mustahkamlash uchun har kuni kamida uch-to'rtta tenglama yechish odatini yo'lga qo'ying — Prime Matematika'dagi kunlik masala va kvadrat tenglamalar bo'yicha testlar bunga tayyor maydon bo'ladi.