Квадратное уравнение: решение с помощью дискриминанта и теоремы Виета

Квадратное уравнение записывается в виде $ax^2+bx+c=0$, и должно выполняться $a\ne0$. На множестве действительных чисел дискриминант определяет число корней; если коэффициенты удобны, теорема Виета помогает быстро найти корни или вычислить выражение относительно них.

Ниже уравнение сначала приводят к стандартному виду, затем выбирают подходящий способ, и ответ проверяют подстановкой или равенствами Виета.

Квадратное уравнение и его виды

Общий вид: $ax^2 + bx + c = 0$, где $a$ — старший коэффициент, $b$ — второй коэффициент, $c$ — свободный член. Если $a = 0$ и $b\ne0$, уравнение становится линейным, поэтому условие $a \neq 0$ обязательно.

Если $b = 0$ или $c = 0$, уравнение называют неполным квадратным уравнением, и его можно решить и без формулы:

• в виде $ax^2 + c = 0$ корень находим непосредственно: из $3x^2 - 12 = 0$ следует $x^2 = 4$, значит, $x = \pm 2$;
• в виде $ax^2 + bx = 0$ раскладываем на множители: из $x^2 + 5x = 0$ получаем $x(x + 5) = 0$, значит, $x = 0$ или $x = -5$.

Для полного уравнения универсальным средством служит дискриминант.

Решение с помощью дискриминанта

Дискриминант находят по следующей формуле:

$D = b^2 - 4ac$

На множестве действительных чисел его знак заранее указывает число корней: если $D > 0$, то два различных действительных корня, если $D = 0$, то один двукратный корень, если $D < 0$, то действительного корня нет.

Формула корней: $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

1-й пример. Решите уравнение $2x^2 + 3x - 5 = 0$.

Коэффициенты: $a = 2$, $b = 3$, $c = -5$. Дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$. Поскольку $\sqrt{49} = 7$:

$x_1 = \dfrac{-3 + 7}{4} = 1$, $\quad x_2 = \dfrac{-3 - 7}{4} = -\dfrac{5}{2}$.

Проверяем: $2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 - 5 = 0$. Для второго корня также выполняются равенства Виета: $1+(-2{,}5)=-1{,}5=-\frac{b}{a}$ и $1\cdot(-2{,}5)=-2{,}5=\frac{c}{a}$. Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -2{,}5$.

2-й пример. Решите уравнение $x^2 - 6x + 9 = 0$.

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$. Значит, корень один: $x = \dfrac{6}{2} = 3$. Это можно увидеть и в виде $(x - 3)^2 = 0$ — левая часть является полным квадратом.

Теорема Виета: искусство устного решения

Для приведённого квадратного уравнения, то есть вида $x^2 + px + q = 0$ ($a = 1$), теорема Виета утверждает: если действительные корни существуют,

$x_1 + x_2 = -p \quad$ и $\quad x_1 \cdot x_2 = q$.

Иначе говоря, сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену. Когда коэффициенты являются небольшими целыми числами, этот способ позволяет находить корни устно.

3-й пример. Решите уравнение $x^2 + 7x + 12 = 0$.

Ищем два числа с произведением $12$ и суммой $-7$. Произведение положительно — корни одного знака; сумма отрицательна — значит, оба отрицательны. $(-3) \cdot (-4) = 12$ и $(-3) + (-4) = -7$. Ответ: $x_1 = -3$, $x_2 = -4$.

Чтобы убедиться, проверим дискриминантом: $D = 49 - 48 = 1$, $x = \dfrac{-7 \pm 1}{2}$, то есть $-3$ и $-4$ — совпало.

4-й пример. Решите уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$.

Числа с суммой $5$ и произведением $6$ — это $2$ и $3$. Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$. Проверка подстановкой также подтверждает это: $2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 0$.

Если $a \neq 1$, равенства Виета действуют непосредственно в виде $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$ и $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$. Если находить корни устно неудобно, универсальным выбором остаётся дискриминант.

Теорема Виета работает и в обратном направлении: она очень удобна для восстановления уравнения по заданным корням или для вычисления выражений вроде $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$ без решения уравнения.

Самостоятельное упражнение

Решите уравнение $3x^2-12x+9=0$ и проверьте корни равенствами Виета. Краткий ответ: Если разделить уравнение на 3, получим $x^2-4x+3=0$; корни $1$ и $3$, их сумма $4$, произведение $3$.

Типичные ошибки и способы их избежать

На практике чаще всего встречаются такие ошибки:

• Потеря знака. В 1-м примере $a$ положительно, а $c$ отрицательно, поэтому слагаемое $-4ac$ становится положительным. В 1-м примере замена $9 + 40$ на $9 - 40$ портит всё решение. Пусть войдёт в привычку вычислять, заключая отрицательные коэффициенты в скобки.

• Забывание $2a$ в знаменателе. В формуле знаменатель равен $2a$, а не просто $2$: если $a = 2$, знаменатель равен $4$.

• Путаница со знаком в теореме Виета. Сумма равна $-p$, а не $p$. В $x^2 + 7x + 12 = 0$ сумма корней равна $-7$, а произведение равно $+12$.

• Принятие $D = 0$ за «нет корня». На действительных числах есть один двукратный корень; отсутствие действительного корня относится к случаю $D < 0$.

• Неприведение уравнения к стандартному виду. Из $x^2 = 5x - 6$ нельзя взять коэффициенты непосредственно; сначала уравнение приводят к виду $x^2 - 5x + 6 = 0$.

• Отсутствие проверки. Подставьте найденные корни в исходное уравнение или сравните их сумму и произведение с равенствами Виета.

Вывод и следующий шаг

• Сначала приведите уравнение к виду $ax^2+bx+c=0$ и проверьте $a\ne0$.
• Знак $D=b^2-4ac$ определяет число действительных корней.
• При удобных целых коэффициентах теорема Виета быстра, а дискриминант является универсальным способом.
• Самостоятельно проверьте ответ подстановкой или равенствами Виета.
• Решите тесты по квадратным уравнениям или возьмите новый пример в задаче дня.