Kvadrat tenglama: diskriminant va Viet teoremasi bilan yechish

Kvadrat tenglama $ax^2+bx+c=0$ ko'rinishida yoziladi va $a\ne0$ bo'lishi shart. Haqiqiy sonlar to'plamida diskriminant ildizlar sonini aniqlaydi; koeffitsiyentlar qulay bo'lsa, Viet teoremasi ildizlarni tez topish yoki ular haqidagi ifodani hisoblashga yordam beradi.

Quyida avval tenglama standart ko'rinishga keltiriladi, keyin mos usul tanlanadi va javob o'rniga qo'yish yoki Viet tengliklari bilan tekshiriladi.

Kvadrat tenglama va uning turlari

Umumiy ko'rinish: $ax^2 + bx + c = 0$, bu yerda $a$ — bosh koeffitsiyent, $b$ — ikkinchi koeffitsiyent, $c$ — ozod had. $a = 0$ bo'lsa, tenglama chiziqliga aylanadi, shuning uchun $a \neq 0$ sharti majburiy.

Agar $b = 0$ yoki $c = 0$ bo'lsa, tenglama chala kvadrat tenglama deyiladi va uni formulasiz ham yechish mumkin:

• $ax^2 + c = 0$ ko'rinishda ildizni bevosita olamiz: $3x^2 - 12 = 0$ dan $x^2 = 4$, demak $x = \pm 2$;
• $ax^2 + bx = 0$ ko'rinishda ko'paytuvchilarga ajratamiz: $x^2 + 5x = 0$ dan $x(x + 5) = 0$, demak $x = 0$ yoki $x = -5$.

To'liq tenglama uchun esa universal qurol — diskriminant.

Diskriminant orqali yechish

Diskriminant quyidagi formula bilan topiladi:

$D = b^2 - 4ac$

Haqiqiy sonlar to'plamida uning ishorasi ildizlar sonini oldindan aytib beradi: $D > 0$ bo'lsa ikkita har xil haqiqiy ildiz, $D = 0$ bo'lsa bitta ikki karrali ildiz, $D < 0$ bo'lsa haqiqiy ildiz yo'q.

Ildizlar formulasi: $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

1-misol. $2x^2 + 3x - 5 = 0$ tenglamani yeching.

Koeffitsiyentlar: $a = 2$, $b = 3$, $c = -5$. Diskriminant: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$. $\sqrt{49} = 7$ bo'lgani uchun:

$x_1 = \dfrac{-3 + 7}{4} = 1$, $\quad x_2 = \dfrac{-3 - 7}{4} = -\dfrac{5}{2}$.

Tekshiramiz: $2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 - 5 = 0$. Ikkinchi ildiz uchun Viet tengliklari ham bajariladi: $1+(-2{,}5)=-1{,}5=-\frac{b}{a}$ va $1\cdot(-2{,}5)=-2{,}5=\frac{c}{a}$. Javob: $x_1 = 1$, $x_2 = -2{,}5$.

2-misol. $x^2 - 6x + 9 = 0$ tenglamani yeching.

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$. Demak, ildiz bitta: $x = \dfrac{6}{2} = 3$. Buni $(x - 3)^2 = 0$ ko'rinishida ham ko'rish mumkin — chap tomon to'liq kvadratga ajraladi.

Viet teoremasi: og'zaki yechish san'ati

Keltirilgan kvadrat tenglama uchun, ya'ni $x^2 + px + q = 0$ ko'rinishda ($a = 1$), Viet teoremasi shunday deydi: agar haqiqiy ildizlar mavjud bo'lsa,

$x_1 + x_2 = -p \quad$ va $\quad x_1 \cdot x_2 = q$.

Boshqacha aytganda, ildizlar yig'indisi ikkinchi koeffitsiyentga teskari ishora bilan, ko'paytmasi esa ozod hadga teng. Koeffitsiyentlar kichik butun sonlar bo'lganda bu usul ildizlarni og'zaki topish imkonini beradi.

3-misol. $x^2 + 7x + 12 = 0$ tenglamani yeching.

Ko'paytmasi $12$, yig'indisi $-7$ bo'lgan ikkita son qidiramiz. Ko'paytma musbat — ildizlar bir xil ishorali; yig'indi manfiy — demak, ikkalasi ham manfiy. $(-3) \cdot (-4) = 12$ va $(-3) + (-4) = -7$. Javob: $x_1 = -3$, $x_2 = -4$.

Ishonch hosil qilish uchun diskriminant bilan tekshiramiz: $D = 49 - 48 = 1$, $x = \dfrac{-7 \pm 1}{2}$, ya'ni $-3$ va $-4$ — mos keldi.

4-misol. $x^2 - 5x + 6 = 0$ tenglamani yeching.

Yig'indisi $5$, ko'paytmasi $6$ bo'lgan sonlar — bular $2$ va $3$. Javob: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$. O'rniga qo'yib tekshirish ham buni tasdiqlaydi: $2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 0$.

Agar $a \neq 1$ bo'lsa, Viet tengliklari to'g'ridan-to'g'ri $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$ va $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$ ko'rinishida ishlaydi. Ildizlarni og'zaki topish noqulay bo'lsa, diskriminant universal tanlov bo'lib qoladi.

Viet teoremasi teskari yo'nalishda ham ishlaydi: ildizlari berilgan tenglamani tiklash yoki $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$ kabi ifodalarni tenglamani yechmasdan hisoblash uchun juda qulay.

Mustaqil mashq

$3x^2-12x+9=0$ tenglamani yeching va ildizlarni Viet tengliklari bilan tekshiring. Qisqa javob: tenglamani 3 ga bo'lsak, $x^2-4x+3=0$; ildizlar $1$ va $3$, ularning yig'indisi $4$, ko'paytmasi $3$.

Tipik xatolar va ulardan qochish yo'llari

Amaliyotda eng ko'p uchraydigan xatolar quyidagilar:

• Ishorani yo'qotish. $c$ manfiy bo'lsa, $-4ac$ hadi musbatga aylanadi. 1-misolda $9 + 40$ o'rniga $9 - 40$ deb yozish butun yechimni buzadi. Manfiy koeffitsiyentlarni qavs ichida qo'yib hisoblash odat bo'lsin.

• Maxrajdagi $2a$ ni unutish. Formulada maxraj $2a$, shunchaki $2$ emas: $a = 2$ bo'lsa, maxraj $4$ bo'ladi.

• Viet teoremasida ishora adashuvi. Yig'indi $-p$ ga teng, $p$ ga emas. $x^2 + 7x + 12 = 0$ da ildizlar yig'indisi $-7$, ko'paytmasi $+12$.

• $D = 0$ ni "ildiz yo'q" deb o'ylash. Haqiqiy sonlarda bitta ikki karrali ildiz bor; haqiqiy ildiz bo'lmasligi $D < 0$ holatga tegishli.

• Tenglamani standart ko'rinishga keltirmaslik. $x^2 = 5x - 6$ dan koeffitsiyentlarni to'g'ridan-to'g'ri olib bo'lmaydi; avval $x^2 - 5x + 6 = 0$ ko'rinishga keltiriladi.

• Tekshirmaslik. Topilgan ildizlarni asl tenglamaga qo'ying yoki ularning yig'indisi va ko'paytmasini Viet tengliklari bilan solishtiring.

Xulosa va keyingi qadam

• Avval tenglamani $ax^2+bx+c=0$ ko'rinishiga keltiring va $a\ne0$ ni tekshiring.
• Haqiqiy ildizlar sonini $D=b^2-4ac$ ishorasi belgilaydi.
• Qulay butun koeffitsiyentlarda Viet teoremasi tez, diskriminant esa universal usuldir.
• Javobni o'rniga qo'yish yoki Viet tengliklari bilan mustaqil tekshiring.
• Kvadrat tenglamalarga oid testlarni yeching yoki kunlik masalada yangi misol oling.