Задачи на проценты: вычисление скидки, наценки и процента увеличения

Основная идея задач на проценты одна: сначала нужно определить, от какой величины берётся процент. При скидке и наценке новое значение находят с помощью коэффициента; при проценте увеличения изменение делят на старое значение.

Ниже эти правила применяются шаг за шагом в примерах скидки, обратной задачи, наценки и последовательного изменения.

Основные правила нахождения процента

Процент — это одна сотая доля числа: $1\% = \frac{1}{100} = 0{,}01$. Отсюда следуют три основных действия:

1. Нахождение процента от числа: у числа $a$ его $p\%$ равно $a \cdot \frac{p}{100}$. Например, у $48$ его $25\%$ — это $48 \cdot 0{,}25 = 12$.
2. Увеличение на процент (наценка, рост): новое значение равно $a \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)$.
3. Уменьшение на процент (скидка): новое значение равно $a \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right)$.

Есть и обратный вопрос: "Число $12$ составляет сколько процентов от $48$?" Здесь находим долю и умножаем на $100\%$: $\frac{12}{48} \cdot 100\% = 25\%$. То есть найти процент — на самом деле значит найти "отношение части к целому".

На практике самый удобный путь — перевести процент в коэффициент. Скидка $20\%$ означает умножение цены на $0{,}8$, наценка $35\%$ — умножение на $1{,}35$. Метод коэффициентов позволяет решать задачи на проценты за один шаг и, что важно, безошибочно работает и в обратных задачах.

Задачи на скидку

1-пример. Цена куртки 250 000 сумов. Магазин объявил скидку $20\%$. Какова новая цена?

Решение. При скидке $20\%$ от цены отнимается часть $0{,}2$, значит, остаётся часть $0{,}8$:

$250\,000 \cdot 0{,}8 = 200\,000$ сумов.

Величину скидки тоже можно найти сразу: $250\,000 - 200\,000 = 50\,000$ сумов.

Теперь рассмотрим обратную задачу: здесь исходная цена восстанавливается по значению после скидки.

2-пример. После скидки $20\%$ сумка стала стоить 144 000 сумов. Какова была её исходная цена?

Решение. Если исходную цену обозначить $x$, то цена после скидки равна $0{,}8x$:

$0{,}8x = 144\,000$, отсюда $x = \dfrac{144\,000}{0{,}8} = 180\,000$ сумов.

Проверим: $180\,000 \cdot 0{,}8 = 144\,000$ — условие выполнено. Обратите внимание: здесь нельзя умножать $144\,000$ на $1{,}2$, потому что скидка взята не от последующей цены, а от исходной.

Нахождение наценки и процента увеличения

3-пример. Магазин покупает товар за 80 000 сумов и продаёт его с наценкой $35\%$. Какова цена продажи?

Решение. За один шаг с помощью коэффициента:

$80\,000 \cdot 1{,}35 = 108\,000$ сумов.

Отсюда же видно, что сама наценка равна $80\,000 \cdot 0{,}35 = 28\,000$ сумов.

4-пример. Цена товара выросла с 120 000 сумов до 138 000 сумов. На сколько процентов выросла цена?

Решение. Чтобы найти процент увеличения, изменение всегда делят на старое значение:

$\dfrac{138\,000 - 120\,000}{120\,000} = \dfrac{18\,000}{120\,000} = 0{,}15 = 15\%$.

Общая формула: процент изменения $= \dfrac{\text{yangi} - \text{eski}}{\text{eski}} \cdot 100\%$. Если результат положителен — говорим об увеличении, если отрицателен — об уменьшении.

Последовательные процентные изменения

Случай, который чаще всего сбивает с толку на тестах, — последовательное применение двух процентов.

5-пример. Цену сначала увеличили на $20\%$, затем от новой цены сделали скидку $20\%$. Как изменилась цена по сравнению с первоначальной?

Решение. Большинство отвечает "не изменилась", но это ошибка. При последовательных изменениях коэффициенты перемножают:

$1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96$,

то есть цена упала до $96\%$ от первоначальной — всего она уменьшилась на $4\%$. Причина проста: второй $20\%$ берётся относительно большего числа (увеличенной цены), поэтому снижение в сумах больше, чем рост в сумах.

По тому же правилу увеличение два раза на $10\%$ даёт не $20\%$, а увеличение на $21\%$: $1{,}1 \cdot 1{,}1 = 1{,}21$. Если один и тот же положительный процент применяется последовательно, для каждого шага записывают коэффициент и коэффициенты перемножают.

Самостоятельное упражнение

После скидки $15\%$ товар стал стоить 255 000 сумов. Найдите исходную цену. Краткий ответ: $0{,}85x=255\,000$, значит, $x=300\,000$ сумов.

Типичные ошибки и как их избежать

1. Взятие процента от неверного основания. во 2-м примере вычисление $144\,000 \cdot 1{,}2 = 172\,800$ — классическая ошибка. Скидка взята от исходной цены, поэтому нужно делить на $0{,}8$, а не умножать на $1{,}2$.
2. Сложение последовательных процентов. Последовательное изменение цены на $+20\%$ и на $-20\%$ не восстанавливает первоначальную цену. Каждое изменение переведите в коэффициент и перемножьте.
3. Деление величины увеличения на новое значение. в 4-м примере получается $\dfrac{18\,000}{138\,000} \approx 13\%$ — это неверный вариант, намеренно поставленный во многих тестах. В знаменателе всегда стоит старое значение.
4. Путаница процента с сумами. Спрашивает ли вопрос процент или денежную единицу — дочитайте условие задачи до конца и запишите ответ именно в запрошенном виде.

Вывод и следующий шаг

• Чтобы найти $p\%$ числа, умножьте его на $\frac{p}{100}$.
• При увеличении на $p\%$ используйте коэффициент $1+\frac{p}{100}$, при уменьшении — коэффициент $1-\frac{p}{100}$.
• Вычисляя процент увеличения, делите изменение на старое значение.
• Не складывайте последовательные проценты; перемножайте их коэффициенты.
• Решайте тематические тесты по процентам или проверьте себя на задаче дня.