Foiz masalalari: chegirma, ustama va o'sish foizini hisoblash

Foiz masalalarining asosiy g'oyasi bitta: avval foiz qaysi qiymatdan olinayotganini aniqlash kerak. Chegirma va ustamada yangi qiymat koeffitsiyent bilan topiladi; o'sish foizida esa o'zgarish eski qiymatga bo'linadi.

Quyida shu qoidalar chegirma, teskari masala, ustama va ketma-ket o'zgarish misollarida qadam-baqadam qo'llanadi.

Foizni topishning asosiy qoidalari

Foiz — bu sonning yuzdan bir ulushi: $1\% = \frac{1}{100} = 0{,}01$. Shundan uchta asosiy amal kelib chiqadi:

1. Sonning foizini topish: $a$ sonining $p\%$ i $a \cdot \frac{p}{100}$ ga teng. Masalan, $48$ ning $25\%$ i — $48 \cdot 0{,}25 = 12$.
2. Foizga oshirish (ustama, o'sish): yangi qiymat $a \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)$ bo'ladi.
3. Foizga kamaytirish (chegirma): yangi qiymat $a \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right)$ bo'ladi.

Teskari savol ham bor: "$12$ soni $48$ ning necha foizi?" Bunda ulushni topib, $100\%$ ga ko'paytiramiz: $\frac{12}{48} \cdot 100\% = 25\%$. Ya'ni foizni topish — aslida "qismning butunga nisbati" ni topish demakdir.

Amaliyotda eng qulay yo'l — foizni koeffitsiyentga aylantirish. $20\%$ chegirma — bu narxni $0{,}8$ ga ko'paytirish, $35\%$ ustama — $1{,}35$ ga ko'paytirish degani. Koeffitsiyent usuli foiz masalalarini bir qadamda yechish imkonini beradi va, muhimi, teskari masalalarda ham xatosiz ishlaydi.

Chegirma masalalari

1-misol. Kurtkaning narxi 250 000 so'm. Do'kon $20\%$ chegirma e'lon qildi. Yangi narx qancha?

Yechim. $20\%$ chegirmada narxning $0{,}2$ qismi olib tashlanadi, demak $0{,}8$ qismi qoladi:

$250\,000 \cdot 0{,}8 = 200\,000$ so'm.

Chegirma miqdorini ham darrov topish mumkin: $250\,000 - 200\,000 = 50\,000$ so'm.

Endi teskari masalani ko'ramiz: bunda chegirmadan keyingi qiymatdan asl narx tiklanadi.

2-misol. $20\%$ chegirmadan keyin sumka 144 000 so'm bo'ldi. Uning asl narxi qancha edi?

Yechim. Asl narxni $x$ desak, chegirmadan keyingi narx $0{,}8x$ ga teng:

$0{,}8x = 144\,000$, bundan $x = \dfrac{144\,000}{0{,}8} = 180\,000$ so'm.

Tekshiramiz: $180\,000 \cdot 0{,}8 = 144\,000$ — shart bajarildi. E'tibor bering: bu yerda $144\,000$ ni $1{,}2$ ga ko'paytirish mumkin emas, chunki chegirma keyingi narxdan emas, asl narxdan olingan.

Ustama va o'sish foizini topish

3-misol. Do'kon mahsulotni 80 000 so'mga sotib olib, $35\%$ ustama bilan sotadi. Sotuv narxi qancha?

Yechim. Koeffitsiyent bilan bir qadamda:

$80\,000 \cdot 1{,}35 = 108\,000$ so'm.

Ustamaning o'zi $80\,000 \cdot 0{,}35 = 28\,000$ so'm ekanini ham shu yerdan ko'rish mumkin.

4-misol. Mahsulot narxi 120 000 so'mdan 138 000 so'mga oshdi. Narx necha foizga oshgan?

Yechim. O'sish foizini topish uchun o'zgarish har doim eski qiymatga bo'linadi:

$\dfrac{138\,000 - 120\,000}{120\,000} = \dfrac{18\,000}{120\,000} = 0{,}15 = 15\%$.

Umumiy formula: o'zgarish foizi $= \dfrac{\text{yangi} - \text{eski}}{\text{eski}} \cdot 100\%$. Natija musbat chiqsa — o'sish, manfiy chiqsa — kamayish haqida gapiramiz.

Ketma-ket foiz o'zgarishlari

Testlarda eng ko'p adashtiradigan holat — ikkita foizning ketma-ket qo'llanishi.

5-misol. Narx avval $20\%$ ga oshirildi, keyin yangi narxdan $20\%$ chegirma qilindi. Narx dastlabkisiga nisbatan qanday o'zgardi?

Yechim. Ko'pchilik "o'zgarmadi" deb javob beradi, lekin bu xato. Ketma-ket o'zgarishlarda koeffitsiyentlar ko'paytiriladi:

$1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96$,

ya'ni narx dastlabkisining $96\%$ iga tushdi — jami $4\%$ ga kamaydi. Sababi oddiy: ikkinchi $20\%$ kattaroq songa (oshirilgan narxga) nisbatan olinadi, shuning uchun so'mdagi tushish so'mdagi oshishdan katta bo'ladi.

Xuddi shu qoida bo'yicha $10\%$ ga ikki marta oshirish $20\%$ emas, $21\%$ oshish beradi: $1{,}1 \cdot 1{,}1 = 1{,}21$. Bir xil musbat foiz ketma-ket qo'llansa, har bosqich uchun koeffitsiyent yoziladi va koeffitsiyentlar ko'paytiriladi.

Mustaqil mashq

$15\%$ chegirmadan keyin mahsulot 255 000 so'm bo'ldi. Asl narxni toping. Qisqa javob: $0{,}85x=255\,000$, demak $x=300\,000$ so'm.

Tipik xatolar va ulardan qochish

1. Foizni noto'g'ri asosdan olish. 2-misolda $144\,000 \cdot 1{,}2 = 172\,800$ deb hisoblash — klassik xato. Chegirma asl narxdan olingan, shuning uchun $0{,}8$ ga bo'lish kerak, $1{,}2$ ga ko'paytirish emas.
2. Ketma-ket foizlarni qo'shib yuborish. $+20\%$ va $-20\%$ hech qachon nolga yig'ilmaydi. Har bir o'zgarishni koeffitsiyentga aylantiring va ko'paytiring.
3. O'sish foizini yangi qiymatga bo'lish. 4-misolda $\dfrac{18\,000}{138\,000} \approx 13\%$ chiqadi — bu ko'p testlarda ataylab qo'yilgan noto'g'ri variant. Maxrajda doim eski qiymat turadi.
4. Foiz bilan so'mni aralashtirish. Savol foizda so'ralganmi yoki pul birligida — masala shartini oxirigacha o'qing va javobni aynan so'ralgan ko'rinishda yozing.

Xulosa va keyingi qadam

• Sonning $p\%$ ini topish uchun uni $\frac{p}{100}$ ga ko'paytiring.
• $p\%$ oshishda $1+\frac{p}{100}$, kamayishda $1-\frac{p}{100}$ koeffitsiyentidan foydalaning.
• O'sish foizini hisoblaganda o'zgarishni eski qiymatga bo'ling.
• Ketma-ket foizlarni qo'shmang; ularning koeffitsiyentlarini ko'paytiring.
• Foizga oid mavzuli testlarni yeching yoki kunlik masalada o'zingizni sinang.