Математические формулы DTM: базовое руководство для вступительного теста OTM

Выражение "DTM математика" по-прежнему часто ищут, однако вступительные тесты сейчас организует Агентство по оценке знаний и навыков. Официальная программа и критерий оценивания могут обновляться от года к году; поэтому данная статья не даёт предположительного числа вопросов, а объясняет основные формулы, применяемые в алгебре, прогрессии, геометрии и тригонометрии.

Одного запоминания формулы недостаточно. В задаче нужно распознать, какая формула требуется, проверить её условия и подтвердить ответ независимым способом. Каждый пример ниже показывает ровно эти три шага.

Формулы сокращённого умножения

Эти формулы встречаются на экзамене и напрямую, и в "скрытом" виде внутри других тем:

• $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
• $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
• $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$

Разность квадратов резко ускоряет вычисления: например, $47^2 - 43^2 = (47-43)(47+43) = 4 \cdot 90 = 360$ — без калькулятора, в одну строку.

1-пример. Если $x + \dfrac{1}{x} = 5$ и $x \ne 0$, найдите $x^2 + \dfrac{1}{x^2}$.

Решение. Возведём обе части данного равенства в квадрат:

$\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2} = 25.$

Значит, $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 25 - 2 = 23$. Обратите внимание: здесь не требуется находить само $x$ — именно эта идея есть ключ к тому, чтобы не терять время на тесте.

Квадратное уравнение и теорема Виета

Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ $(a \ne 0)$ дискриминант равен $D = b^2 - 4ac$. В действительных числах, если $D<0$, корней нет; когда $D\ge0$, корни равны $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}, \qquad x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}.$

В тестах часто спрашивают не сами корни, а выражение от них — в этом случае теорема Виета работает быстрее дискриминанта.

2-пример. Вычислите сумму квадратов корней уравнения $x^2 - 7x + 10 = 0$, не находя корней.

Решение. По Виету $x_1 + x_2 = 7$ и $x_1 x_2 = 10$. Воспользуемся формулой сокращённого умножения:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 49 - 20 = 29.$

Проверка: корни уравнения $x_1 = 2$, $x_2 = 5$ (так как $2 + 5 = 7$, $2 \cdot 5 = 10$), и $2^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29$. Ответ подтверждён.

Прогрессии

Для арифметической прогрессии:

• $n$-член: $a_n = a_1 + (n-1)d$
• сумма: $S_n = \dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$

Для геометрической прогрессии: $b_n = b_1 q^{n-1}$. Если $q \ne 1$, то $S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$; если $q=1$, все члены равны $b_1$, и $S_n=nb_1$.

3-пример. В арифметической прогрессии $a_1 = 5$, $d = 3$. Найдите $a_{20}$ и $S_{20}$.

Решение. Сначала найдём двадцатый член:

$a_{20} = a_1 + 19d = 5 + 19 \cdot 3 = 5 + 57 = 62.$

Теперь сумма: $S_{20} = \dfrac{(a_1 + a_{20}) \cdot 20}{2} = \dfrac{(5 + 62) \cdot 20}{2} = 67 \cdot 10 = 670$.

Будьте внимательны: в формуле стоит $19d$, то есть $(n-1)d$. Если записать $nd$, прогрессия сдвинется на один шаг.

Основные формулы из геометрии и тригонометрии

Основные формулы из геометрии: теорема Пифагора $c^2 = a^2 + b^2$, площадь треугольника $S = \dfrac{1}{2}ah$ и $S = \dfrac{1}{2}ab\sin C$, площадь круга $S = \pi r^2$, длина окружности $C = 2\pi r$. В тригонометрии используются $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$; в формуле тангенса должно выполняться $\cos\alpha \ne 0$.

4-пример. Найдите площадь треугольника со сторонами 5, 12 и 13.

Решение. Проверяем: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$. По теореме, обратной теореме Пифагора, это прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12. Значит,

$S = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30.$

Распознавание пифагоровых троек вида 5–12–13 (а также 3–4–5 и 8–15–17) сокращает вычисления. Всё же проверьте равенство: тройка означает прямоугольный треугольник только тогда, когда выполняется $a^2+b^2=c^2$.

Самостоятельное упражнение

Если $x+\dfrac{1}{x}=4$ и $x\ne0$, найдите $x^2+\dfrac{1}{x^2}$. Краткий ответ: Возводим равенство в квадрат и вычитаем $2$; ответ $14$.

Типичные ошибки: не делайте этого

• запись $(a+b)^2 = a^2 + b^2$ — выпадает член $2ab$.
• Ошибка знака в дискриминанте: если $b = -7$, то $b^2 = (-7)^2 = 49$, и это никогда не $-49$.
• В прогрессии запись $a_n = a_1 + nd$ — правильно $(n-1)d$; результат сдвигается на один шаг.
• считать $\sqrt{a^2} = a$ — в общем случае $\sqrt{a^2} = |a|$, так как $a$ может быть отрицательным.
• Сокращение дроби по слагаемым: $\dfrac{a+c}{b+c}$ нельзя "упростить" до $\dfrac{a}{b}$ — сокращение действует только на множители.

Вывод и следующий шаг

• Помните каждую формулу вместе с её условием: ограничения вроде $x\ne0$, $a\ne0$, $q\ne1$ и $\cos\alpha\ne0$ являются частью ответа.
• Если находить корни не требуется, пользуйтесь теоремой Виета и тождествами.
• В прогрессии проверяйте индекс $(n-1)$, а в геометрии — условие применения формулы.
• Потренируйте формулы в тематических тестах по математике и проработайте ошибки в тетради ошибок.

Источники

• UzBMB: подробности тестовых заданий по общеобразовательным предметам
• UzBMB: число тестов и критерий оценивания для приёма 2026/2027 (PDF)