DTM matematika formulalari: OTM kirish testi uchun tayanch qo'llanma

"DTM matematika" iborasi hanuz ko'p qidiriladi, ammo kirish testlarini hozir Bilim va malakalarni baholash agentligi tashkil etadi. Rasmiy dastur va baholash mezoni yilga qarab yangilanishi mumkin; shu sababli ushbu maqola savollar sonini taxmin qilmaydi, balki algebra, progressiya, geometriya va trigonometriyada ishlatiladigan tayanch formulalarni tushuntiradi.

Formulani yodlashning o'zi yetmaydi. Masalada qaysi formula kerakligini tanish, uning shartlarini tekshirish va javobni mustaqil usul bilan tasdiqlash kerak. Quyidagi har bir misol aynan shu uch bosqichni ko'rsatadi.

Qisqartirish formulalari

Bu formulalar imtihonda to'g'ridan-to'g'ri ham, boshqa mavzular ichida "yashirin" holda ham keladi:

• $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
• $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
• $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$

Kvadratlar ayirmasi hisobni keskin tezlashtiradi: masalan, $47^2 - 43^2 = (47-43)(47+43) = 4 \cdot 90 = 360$ — kalkulyatorsiz, bir qatorda.

1-misol. $x + \dfrac{1}{x} = 5$ va $x \ne 0$ bo'lsa, $x^2 + \dfrac{1}{x^2}$ ni toping.

Yechim. Berilgan tenglikning ikkala tomonini kvadratga ko'taramiz:

$\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2} = 25.$

Demak, $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 25 - 2 = 23$. E'tibor bering: bu yerda $x$ ning o'zini topish shart emas — aynan shu g'oya testda vaqt yutqazmaslikning kaliti.

Kvadrat tenglama va Viet teoremasi

$ax^2 + bx + c = 0$ $(a \ne 0)$ tenglama uchun diskriminant $D = b^2 - 4ac$, ildizlar esa $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. Viet teoremasi bo'yicha:

$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}, \qquad x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}.$

Testlarda ko'pincha ildizlarning o'zi emas, ular ustidagi ifoda so'raladi — bunda Viet teoremasi diskriminantdan tezroq ishlaydi.

2-misol. $x^2 - 7x + 10 = 0$ tenglama ildizlari kvadratlarining yig'indisini ildizlarni topmasdan hisoblang.

Yechim. Viet bo'yicha $x_1 + x_2 = 7$ va $x_1 x_2 = 10$. Qisqartirish formulasidan foydalanamiz:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 49 - 20 = 29.$

Tekshiruv: tenglama ildizlari $x_1 = 2$, $x_2 = 5$ (chunki $2 + 5 = 7$, $2 \cdot 5 = 10$), va $2^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29$. Javob tasdiqlandi.

Progressiyalar

Arifmetik progressiya uchun:

• $n$-had: $a_n = a_1 + (n-1)d$
• yig'indi: $S_n = \dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$

Geometrik progressiya uchun: $b_n = b_1 q^{n-1}$. Agar $q \ne 1$ bo'lsa, $S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$; agar $q=1$ bo'lsa, barcha hadlar $b_1$ ga teng va $S_n=nb_1$.

3-misol. Arifmetik progressiyada $a_1 = 5$, $d = 3$. $a_{20}$ va $S_{20}$ ni toping.

Yechim. Avval yigirmanchi hadni topamiz:

$a_{20} = a_1 + 19d = 5 + 19 \cdot 3 = 5 + 57 = 62.$

Endi yig'indi: $S_{20} = \dfrac{(a_1 + a_{20}) \cdot 20}{2} = \dfrac{(5 + 62) \cdot 20}{2} = 67 \cdot 10 = 670$.

Diqqat qiling: formulada $19d$, ya'ni $(n-1)d$ turibdi. $nd$ yozilsa, progressiya bitta qadamga siljib ketadi.

Geometriya va trigonometriyadan tayanch formulalar

Geometriyadan tayanch formulalar: Pifagor teoremasi $c^2 = a^2 + b^2$, uchburchak yuzi $S = \dfrac{1}{2}ah$ va $S = \dfrac{1}{2}ab\sin C$, doira yuzi $S = \pi r^2$, aylana uzunligi $C = 2\pi r$. Trigonometriyada $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ hamda $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ ishlatiladi; tangens formulasida $\cos\alpha \ne 0$ bo'lishi shart.

4-misol. Tomonlari 5, 12 va 13 bo'lgan uchburchakning yuzini toping.

Yechim. Tekshiramiz: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$. Pifagor teoremasining teskarisi bo'yicha bu to'g'ri burchakli uchburchak, katetlari 5 va 12. Demak,

$S = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30.$

5–12–13 kabi Pifagor uchliklarini (shuningdek 3–4–5 va 8–15–17) tanish hisobni qisqartiradi. Baribir tenglikni tekshiring: uchlik faqat $a^2+b^2=c^2$ bajarilganda to'g'ri burchakli uchburchakni bildiradi.

Mustaqil mashq

$x+\dfrac{1}{x}=4$ va $x\ne0$ bo'lsa, $x^2+\dfrac{1}{x^2}$ ni toping. Qisqa javob: tenglikni kvadratga ko'tarib, $2$ ni ayiramiz; javob $14$.

Tipik xatolar: shularni qilmang

• $(a+b)^2 = a^2 + b^2$ deb yozish — $2ab$ hadi tushib qoladi.
• Diskriminantda ishora xatosi: $b = -7$ bo'lsa, $b^2 = (-7)^2 = 49$, hech qachon $-49$ emas.
• Progressiyada $a_n = a_1 + nd$ deb yozish — to'g'risi $(n-1)d$; natija bitta qadamga siljib ketadi.
• $\sqrt{a^2} = a$ deb hisoblash — umumiy holda $\sqrt{a^2} = |a|$, chunki $a$ manfiy bo'lishi mumkin.
• Kasrni yig'indidan qisqartirish: $\dfrac{a+c}{b+c}$ ni $\dfrac{a}{b}$ ga "soddalashtirish" mumkin emas — qisqartirish faqat ko'paytuvchilar ustida ishlaydi.

Xulosa va keyingi qadam

• Har formulani sharti bilan yodda tuting: $x\ne0$, $a\ne0$, $q\ne1$ va $\cos\alpha\ne0$ kabi cheklovlar javobning bir qismidir.
• Ildizlarni topish shart bo'lmasa, Viet teoremasi va ayniyatlardan foydalaning.
• Progressiyada $(n-1)$ indeksini, geometriyada esa formula qo'llanish shartini tekshiring.
• Mavzuli matematika testlarida formulalarni mashq qiling va xatolarni xatolar daftarida qayta ishlang.

Manbalar

• UzBMB: umumta'lim fanlari bo'yicha test topshiriqlari tafsiloti
• UzBMB: 2026/2027 qabul uchun test soni va baholash mezoni (PDF)