Задача №40 · 5 сентября 2026 г.

Обыкновенные дроби

Вычислите:

\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\dots+\frac{1}{9\cdot10}

РАЗОБРАННЫЙ ПРИМЕР

Решение

Запишем каждое слагаемое в виде разности:

\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}

. Тогда сумма принимает вид

\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\dots+\left(\frac{1}{9}-\frac{1}{10}\right)

, и промежуточные слагаемые взаимно сокращаются. Остаётся:

1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}