Skip to main content
PPrime
⬅️ Back to list

July 29, 2026

DTM matematika: imtihonda eng ko'p keladigan formulalar to'plami

DTM matematika testlariga tayyorlanayotgan deyarli har bir abituriyent bir xil savolni beradi: "Qaysi formulalarni birinchi navbatda o'zlashtirishim kerak?" Kirish imtihoni dasturi keng bo'lsa-da, testdagi masalalarning katta qismi ko'pincha bir necha o'nlab tayanch formulalar atrofida aylanadi. Ularni shunchaki yodlagan emas, balki masalada tanib, tez qo'llay oladigan abituriyent vaqtni ham, ballni ham yutadi.

Quyida DTM matematika bo'yicha eng ko'p ishlatiladigan formulalarni mavzular kesimida to'pladik va har bir guruhga to'liq ishlangan misol keltirdik. Har bir misolni o'qib chiqqach, daftarda o'zingiz ham qaytadan yeching — formula faqat qo'lda yechilgandagina "sizniki" bo'ladi.

## Qisqartirish formulalari

Bu formulalar imtihonda to'g'ridan-to'g'ri ham, boshqa mavzular ichida "yashirin" holda ham keladi:

- (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
- (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
- a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)
- a3±b3=(a±b)(a2∓ab+b2)a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)

Kvadratlar ayirmasi hisobni keskin tezlashtiradi: masalan, 472−432=(47−43)(47+43)=4⋅90=36047^2 - 43^2 = (47-43)(47+43) = 4 \cdot 90 = 360 — kalkulyatorsiz, bir qatorda.

**1-misol.** x+1x=5x + \dfrac{1}{x} = 5 bo'lsa, x2+1x2x^2 + \dfrac{1}{x^2} ni toping.

**Yechim.** Berilgan tenglikning ikkala tomonini kvadratga ko'taramiz:

(x+1x)2=x2+2⋅x⋅1x+1x2=x2+2+1x2=25.\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2} = 25.

Demak, x2+1x2=25−2=23x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 25 - 2 = 23. E'tibor bering: bu yerda xx ning o'zini topish shart emas — aynan shu g'oya testda vaqt yutqazmaslikning kaliti.

## Kvadrat tenglama va Viet teoremasi

ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 (a≠0)(a \ne 0) tenglama uchun diskriminant D=b2−4acD = b^2 - 4ac, ildizlar esa x1,2=−b±D2ax_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. Viet teoremasi bo'yicha:

x1+x2=−ba,x1⋅x2=ca.x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}, \qquad x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}.

Testlarda ko'pincha ildizlarning o'zi emas, ular ustidagi ifoda so'raladi — bunda Viet teoremasi diskriminantdan tezroq ishlaydi.

**2-misol.** x2−7x+10=0x^2 - 7x + 10 = 0 tenglama ildizlari kvadratlarining yig'indisini ildizlarni topmasdan hisoblang.

**Yechim.** Viet bo'yicha x1+x2=7x_1 + x_2 = 7 va x1x2=10x_1 x_2 = 10. Qisqartirish formulasidan foydalanamiz:

x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=49−20=29.x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 49 - 20 = 29.

Tekshiruv: tenglama ildizlari x1=2x_1 = 2, x2=5x_2 = 5 (chunki 2+5=72 + 5 = 7, 2⋅5=102 \cdot 5 = 10), va 22+52=4+25=292^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29. Javob tasdiqlandi.

## Progressiyalar

Arifmetik progressiya uchun:

- nn-had: an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d
- yig'indi: Sn=(a1+an)⋅n2S_n = \dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}

Geometrik progressiya uchun: bn=b1qn−1b_n = b_1 q^{n-1} va q≠1q \ne 1 bo'lganda Sn=b1(qn−1)q−1S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}.

**3-misol.** Arifmetik progressiyada a1=5a_1 = 5, d=3d = 3. a20a_{20} va S20S_{20} ni toping.

**Yechim.** Avval yigirmanchi hadni topamiz:

a20=a1+19d=5+19⋅3=5+57=62.a_{20} = a_1 + 19d = 5 + 19 \cdot 3 = 5 + 57 = 62.

Endi yig'indi: S20=(a1+a20)⋅202=(5+62)⋅202=67⋅10=670S_{20} = \dfrac{(a_1 + a_{20}) \cdot 20}{2} = \dfrac{(5 + 62) \cdot 20}{2} = 67 \cdot 10 = 670.

Diqqat qiling: formulada 19d19d, ya'ni (n−1)d(n-1)d turibdi — bu progressiyalardagi eng ko'p uchraydigan xato nuqtasi.

## Geometriya va trigonometriyadan tayanch formulalar

Geometriyadan minimal "omon qolish to'plami": Pifagor teoremasi c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2, uchburchak yuzi S=12ahS = \dfrac{1}{2}ah va S=12absin⁡CS = \dfrac{1}{2}ab\sin C, doira yuzi S=πr2S = \pi r^2, aylana uzunligi C=2πrC = 2\pi r. Trigonometriyadan esa asosiy ayniyat sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 va tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} deyarli har bir trigonometrik masalaning tayanchi.

**4-misol.** Tomonlari 5, 12 va 13 bo'lgan uchburchakning yuzini toping.

**Yechim.** Tekshiramiz: 52+122=25+144=169=1325^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2. Pifagor teoremasining teskarisi bo'yicha bu to'g'ri burchakli uchburchak, katetlari 5 va 12. Demak,

S=12⋅5⋅12=30.S = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30.

5–12–13 kabi Pifagor uchliklarini (shuningdek 3–4–5, 8–15–17) yodda tutish testda sekundlarni tejaydi.

## Tipik xatolar: shularni qilmang

- (a+b)2=a2+b2(a+b)^2 = a^2 + b^2 deb yozish — 2ab2ab hadi tushib qoladi. Bu eng "qimmat" xatolardan biri.
- Diskriminantda ishora xatosi: b=−7b = -7 bo'lsa, b2=(−7)2=49b^2 = (-7)^2 = 49, hech qachon −49-49 emas.
- Progressiyada an=a1+nda_n = a_1 + nd deb yozish — to'g'risi (n−1)d(n-1)d; natija bitta qadamga siljib ketadi.
- a2=a\sqrt{a^2} = a deb hisoblash — umumiy holda a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a|, chunki aa manfiy bo'lishi mumkin.
- Kasrni yig'indidan qisqartirish: a+cb+c\dfrac{a+c}{b+c} ni ab\dfrac{a}{b} ga "soddalashtirish" mumkin emas — qisqartirish faqat ko'paytuvchilar ustida ishlaydi.

Yakuniy maslahat: formulalar ro'yxatini bir varaqqa yozib, har kuni unga qaramasdan qayta tiklashga urining, xato qilgan joyingizni alohida "xatolar daftari"ga belgilang — kirish imtihoniga qadar aynan shu daftar sizning eng qimmatli qo'llanmangizga aylanadi. Formulani eslab qolishning yagona ishonchli yo'li — uni har kuni ishlatish.

Buni odatga aylantirish uchun Prime Matematika'dagi kunlik masala va mavzuli testlardan boshlang — har kuni bitta masala ham imtihongacha katta farq qiladi.